学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5,3， B．10,6，
C．5,3， D．10,6，
【解析】 椭圆方程可化为＋＝1.
∴a＝5，b＝3，c＝4，
∴长轴长2a＝10，短轴长2b＝6，
离心率e＝＝.故选B.
【答案】 B
2．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵椭圆焦点在x轴上，
∴0＜m＜2，a＝，c＝，
e＝＝＝.
故＝，∴m＝.
【答案】 B
3．中心在原点，焦点在x轴，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【解析】 因为2a＝18,2c＝×2a＝6，所以a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.故所求方程为＋＝1.
【答案】 A
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题意得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，又e>0，故所求的椭圆的离心率为.故选B.
【答案】 B
5．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是( )
A．(0,3) B.
C．(0,3)∪ D．(0,2)
【解析】 当焦点在x轴上时，e2＝＝∈，
解得0＜k＜3.
当焦点在y轴上时，
e2＝＝∈，
解得k＞.综上可知选C.
【答案】 C
二、填空题
6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为________. 【导学号：26160036】
【解析】 由题意得
解得
∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
【答案】 ＋＝1或＋＝1
7．若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为________．
【解析】 若焦点在x轴上，则＝1－2＝，k＝；若焦点在y轴上，则＝，∴k＝－3.
【答案】 或－3
8．(2016·台州高二检测)若椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积是12，则椭圆的短半轴长为________．
【解析】 设P点到x轴的距离为h，则
S△PF1F2＝|F1F2|h，
当P点在y轴上时，h最大，此时S△PF1F2最大，
∵|F1F2|＝2c＝8，∴h＝3，即b＝3.
【答案】 3
三、解答题
9．椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)，离心率e＝，焦点到椭圆上点的最短距离为2－，求椭圆的方程．
【解】 因为椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a－c＝2－.又e＝＝，
∴a＝2，c＝，b2＝1，
∴椭圆的方程为＋x2＝1.
10.如图2－1－3所示，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，M为椭圆上一点，且MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°.试求椭圆的离心率．
图2－1－3
【解】 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c.因为MF2⊥F1F2，所以△MF1F2为直角三角形．
又∠MF1F2＝30°，
所以|MF1|＝2|MF2|，|F1F2|＝|MF1|.
而由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a，
因此|MF1|＝，|MF2|＝，
所以2c＝×，即＝，
即椭圆的离心率是.
[能力提升]
1．(2016·长沙一模)已知P是椭圆上一定点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若∠PF1F2＝60°，|PF2|＝|PF1|，则椭圆的离心率为( )
A. B.－1
C．2－ D．1－
【解析】 由题意可得△PF1F2是直角三角形，|F1F2|＝2c，|PF1|＝c，|PF2|＝c.点P在椭圆上，由椭圆的定义可得e＝＝＝＝＝－1.
【答案】 B
2．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2 B．3 C．6 D．8
【解析】 由题意得F(－1,0)，
设点P(x0，y0)，
则y＝3(－2≤x0≤2)，
·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2，
当x0＝2时，·取得最大值为6.
故选C.
【答案】 C
3．椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4，短轴长为8，则椭圆的标准方程是________.
【导学号：26160037】
【解析】 由题意得＝，解得c＝a.又短轴长为2b，则2b＝8，即b＝4，故b2＝a2－c2＝a2－2＝16，则a2＝25.故椭圆的标准方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
4．(2014·安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
【解】 (1)由|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|BF1|＝1.
因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.
故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.
(2)设|BF1|＝k，则k>0，且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义可得
|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，
而a＋k>0，故a＝3k，
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.