第三章 3.3 第2课时
一、选择题
1．目标函数z＝2x－y，将其看成直线方程时，z的意义是( )
A．该直线的截距
B．该直线的纵截距
C．该直线的纵截距的相反数
D．该直线的横截距
[答案] C
[解析] z＝2x－y可变化形为y＝2x－z，所以z的意义是该直线在y轴上截距的相反数，故选C．
2．若x≥0，y≥0，且x＋y≤1，则z＝x－y的最大值为( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
[答案] B
[解析] 可行域为图中△AOB，当直线y＝x－z经过点B时，－z最小从而z最大∴zmax＝1.
3．已知x、y满足约束条件，则z＝2x＋4y的最小值为( )
A．5 B．－6
C．10 D．－10
[答案] B
[解析] 可行域为图中△ABC及其内部的平面区域，当直线y＝－＋经过点B(3，－3)时，z最小，zmin＝－6.
4．若x、y∈R，且，则z＝x＋2y的最小值等于( )
A．2 B．3
C．5 D．9
[答案] B
[解析] 不等式组表示的可行域如图所示：
画出直线l0：x＋2y＝0，
平行移动l0到l的位置，
当l通过点M时，z取到最小值．
此时M(1,1)，即zmin＝3.
5．设x、y满足约束条件，则目标函数z＝x＋y( )
A．有最小值2，无最大值 B．有最大值3，无最小值
C．有最小值2，最大值3 D．既无最小值，也无最大值
[答案] A
[解析] 画出不等式组表示的平面区域，如下图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象．
当它的平行线经过点A(2,0)时，z取得最小值，最小值为2；无最大值．故选A．
6．(2013·四川文，8)若变量x、y满足约束条件
，且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是( )
A．48 B．30
C．24 D．16
[答案] C
[解析] 本题考查了线性规划中最优解问题．作出不等式组表示的平面区域如图．
作直线l0：y＝x，平移直线l0.
当l0过点A(4,4)时可得zmax＝16，∴a＝16.
当l0过点B(8,0)时可得zmin＝－8，∴b＝－8.
∴a－b＝16－(－8)＝24.
二、填空题
7．若非负变量x、y满足约束条件，则x＋y的最大值为________．
[答案] 4
[解析] 本题考查线性规化的最优解问题．
由题意知x、y满足的约束条件.
画出可行域如图所示．
设x＋y＝t⇒y＝－x＋t，t表示直线在y轴截距，截距越大，t越大．
作直线l0：x＋y＝0，平移直线l0，当l0经过点A(4,0)时， t取最大值4.
8．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．
[答案]
[解析] 本题考查不等式组表示平面区域及点到直线距离问题．
不等式组所表示平面区域如图，由图可知|OM|的最小值即O到直线x＋y－2＝0的距离．
故|OM|的最小值为＝.
三、解答题
9．求z＝3x＋5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件.
[解析] 作出可行域为如图所示的阴影部分．
∵目标函数为z＝3x＋5y，
∴作直线l0：3x＋5y＝0.当直线l0向右上平移时，z随之增大，在可行域内以经过点A(，)的直线l1所对应的z最大．类似地，在可行域内，以经过点B(－2，－1)的直线l2所对应的z最小，∴zmax＝17，zmin＝－11，∴z的最大值为17，最小值为－11.
10．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A、B两种规格金属板，每张面积分别为2 m2与3 m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A、B两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？
[解析] 设A、B两种金属板分别取x张、y张，用料面积为z，则约束条件为
.
目标函数z＝2x＋3y.
作出以上不等式组所表示的平面区域(即可行域)，如图所示．
z＝2x＋3y变为y＝－x＋，得斜率为－，在y轴上截距为且随z变化的一族平行直线．
当直线z＝2x＋3y过可行域上点M时，截距最小，z最小．解方程组 ，得M点的坐标为(5,5)．
此时zmin＝2×5＋3×5＝25 (m2)．
答：当两种金属板各取5张时，用料面积最省.
一、选择题
1．若变量x、y满足，则z＝3x＋2y的最大值是( )
A．90 B．80
C．70 D．40
[答案] C
[解析] 作出可行域如图所示．
解方程组，
得.
∴zmax＝3×10＋2×20＝70.
2．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为( )
A．11 B．10
C．9 D．8.5
[答案] B
[解析] 作出不等式组表示的可行域，如下图的阴影部分所示．
又z＝2x＋3y＋1可化为y＝－x＋－，
结合图形可知z＝2x＋3y＋1在点A处取得最大值．
由，得.故A点坐标为(3,1)．
此时z＝2×3＋3×1＋1＝10.
3．不等式组表示的平面区域内的整点个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] B
[解析] 不等式y－2x≤0表示直线y－2x＝0的右下方区域(含边界)，x＋2y＋3＞0表示直线x＋2y＋3＝0右上方区域(不含边界)，5x＋3y－5＜0表示直线5x＋3y－5＝0左下方区域，所以不等式组表示的平面区域是上述三区域的公共部分，即如图所示的△ABC区域．
可求得A(－，－)、B(，)、C(，－)，所以△ABC区域内的点(x，y)满足－≤x＜，－＜y＜.
∵x、y∈Z，∴0≤x≤2，－2≤y≤0，且x、y∈Z.
经检验，共有三个整点(0,0)，(1，－1)，(2，－2)．
4．已知变量x、y满足约束条件，则z＝x＋2y的最小值为( )
A．3 B．1
C．－5 D．－6
[答案] C
[解析] 本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，线性目标函数最值．
由画出可行域如图．
令z＝0画出l0：x＋2y＝0，平移l0至其过A点时z最小，由，得A(－1，－2)，
∴zmin＝－1＋2×(－2)＝－5.
二、填空题
5．在△ABC中，三个顶点分别为A(2,4)、B(－1,2)、C(1,0)，点P(x，y)在△ABC的内部及其边界上运动，则y－x的取值范围为________．
[答案] [－1,3]
[解析] 画出三角形区域如图，易知kAB＝<1，
令z＝y－x，则y＝x＋z，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当经过点C时，zmin＝－1，当经过点B时，zmax＝3，
∴－1≤z≤3.
6．已知点M、N是所围成的平面区域内的两点，则|MN|的最大值是________．
[答案]
[解析] 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，
∵直线x－y＋1＝0与直线x＋y＝6垂直，
直线x＝1与y＝1垂直，
∴|MN|的最大值是|AB|＝＝.
三、解答题
7．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9 g，咖啡4 g，糖3 g；乙种饮料每杯含奶粉4 g，咖啡5 g，糖10 g，已知每天原料的使用限额为奶粉3 600 g，咖啡2 000 g，糖3 000g.如果甲种饮料每杯能获利0.7 元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，若你是咖啡馆的经理，你将如何配制这两种饮料？
[解析] 经营咖啡馆者，应想获得最大的利润，设配制饮料甲x杯，饮料乙y杯，
线性约束条件为，
利润z＝0.7x＋1.2 y，因此这是一个线性规划问题，作出可行域如图，因为－<－<－<－，所以在可行域内的整数点A(200,240)使zmax＝0.7×200＋1.2×240＝428(元)，
即配制饮料甲200杯，乙240杯可获得最大利润．
8．设x、y满足条件.
(1)求u＝x2＋y2的最大值与最小值；
(2)求v＝的最大值与最小值．
[解析] 满足条件的可行域如图所示(阴影部分)．
(1)令x2＋y2＝u表示一组同心圆(圆心为点O)，且对同一圆上的点，x2＋y2的值都相等．
由图可知(x，y)在可行域内取值，当且仅当圆O过C点时，u最大，过点(0,0)时，u最小．
由，解得.
∴C(3,8)，∴umax＝32＋82＝73，umin＝02＋02＝0.
(2)v＝表示可行域内的点(x，y)和定点D(5,0)的连线的斜率，
由图可知kBD最大，kCD最小．
由，解得.
∴B(3，－3)．
∴vmax＝＝，vmin＝＝－4.