第一讲 不等式和绝对值不等式
1.2 绝对值不等式
1.2.2 绝对不等式的解法
A级 基础巩固
一、选择题
1．不等式|3x－2|＞4的解集是( )
A. B.
C. D.
解析：由|3x－2|＞4得3x－2＞4或3x－2＜－4
所以x＞2或x＜－.
答案：C
2．(2015·山东卷)不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集是( )
A．(－∞，4) B．(－∞，1)
C．(1，4) D．(1，5)
解析：法一：当x＜1时，原不等式化为1－x－(5－x)＜2即－4＜2，不等式恒成立；当1≤x＜5时，原不等式即x－1－(5－x)＜2，解得x＜4；当x≥5时，原不等式化为x－1－(x－5)＜2即4＜2，显然不成立，综上可得不等式的解集为(－∞，4)．
法二：由绝对值的几何意义可得数轴上的点x到1，5两点(距离为4)的距离之差小于2的点满足x＜4，所求不等式的解集为(－∞，4)．
答案：A
3．(2015·天津卷)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为|x－2|＜1等价于1＜x＜3，x2＋x－2＞0等价于x＜－2或x＞1，所以“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分不必要条件．
答案：A
4．若不等式|x－1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是( )
A．a≥1 B．a≥3
C．a≤1 D．a≤3
解析：由题意，可知(0，4)是(－a＋1，a＋1)的子集，由此可推得选B；亦可以用差异代入法(寻求选项的不同点代入)验证排除．
答案：B
5．如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，3]∪5，＋∞) B．－5，－3]
C．3，5] D．(－∞，－5]∪－3，＋∞)
解析：利用数轴，结合绝对值的几何意义可知a≤－5或a≥－3.
答案：D
二、填空题
6．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝______．
解析：法一：由|kx－4|≤2可得－2≤kx－4≤2，
即2≤kx≤6，又1≤x≤3，所以k＝2.
法二：由题意可知x＝1，x＝3是|kx－4|＝2的两根，则解得k＝2.
答案：2
7．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：当a＜0时，显然成立；
因为|x＋1|＋|x－3|的最小值为4，所以a＋≤4.所以a＝2，
综上可知a∈(－∞，0)∪{2}．
答案：(－∞，0)∪{2}
8．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|＜a的解集是∅，则a的取值范围是________．
解析：|x＋2|＋|x－1|≥|(x＋2)－(x－1)|＝3，所以a＜3.
答案：a＜3
三、解答题
9．(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|∈a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设f(x)＝|2x－1|，当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
当x∈R时，
f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋1|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.
所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．
当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是2，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝|x－a|.
(1)若f(x)≤m的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a，m的值；
(2)当a＝2且t≥0时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2t)．
解：(1)由|x－a|≤m得a－m≤x≤a＋m，
所以解得
(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，
所以f(x)＋t≥f(x＋2t)，
所以|x－2＋2t|－|x－2|≤t.
当t＝0时，不等式恒成立，即x∈R；
当t＞0时，不等式等价于或
或
解得x＜2－2t或2－2t≤x≤2－或x∈∅，
即x≤2－.
综上所述，当t＝0时，原不等式的解集为R；
当t＞0时，原不等式的解集为.
B级 能力提升
1．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－1]∪4，＋∞) B．(－∞，－2]∪5，＋∞)
C．1，2] D．(－∞，1]∪2，＋∞)
解析：由绝对值的几何意义得|x＋3|－|x－1|的最大值为4，
所以a2－3a≥4恒成立，即a≥4或a≤－1.
答案：A
2．(2015·重庆卷)若f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________．
解析：当a≤－1时，
f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|＝
所以f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，
则f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝－a－1，
由－a－1＝5得a＝－6，符合a≤－1；
当a＞－1时，
f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|＝
所以f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，
则f(x)在x＝a处取最小值f(a)＝a＋1，
由a＋1＝5，得a＝4，符合a＞－1.
综上所述，实数a的值为－6或4.
答案：－6或4
3．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含1，2]，求a的取值范围．
解：(1)当a＝－3时，f(x)≥3⇔|x－3|＋|x－2|≥3
⇔或
或
⇔x≤1或x∈∅或x≥4.
故不等式解集为{x|x≤1或x≥4}．
(2)原命题⇔f(x)≤|x－4|在1，2]上恒成立⇔|x＋a|＋2－x≤4－x在1，2]上恒成立⇔－2－x≤a≤2－x在1，2]上恒成立⇔－3≤a≤0.
故a的取值范围是－3，0]．