(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．(江西高考)已知集合M{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( )
A．－2i B．2i
C．－4i D．4i
解析：选C 由M∩N＝{4}，知4∈M，故zi＝4，
故z＝＝＝－4i.
2．复数z＝(i为虚数单位)的虚部为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
解析：选B 因为z＝＝－1－i，所以复数z的虚部为－1.
3．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：选B ∵ab＝0，∴a＝0或b＝0.由复数a＋＝a－bi为纯虚数，得a＝0且b≠0.∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
4．复数z＝的共轭复数是( )
A．2＋i B．2－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选D z＝＝＝＝－1＋i，
所以其共轭复数为＝－1－i.
5．在复平面内，复数，(i为虚数单位)对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为( )
A. B．1
C.i D．i
解析：选A ＝－i，＝＋i，故在复平面内对应的点A，B，故点C，对应的复数为.
6．(安徽高考)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝( )
A．－2 B．－2i
C．2 D．2i
解析：选C 因为z＝1＋i，所以＋i·＝－i＋1＋i＋1＝2.
7．(陕西高考)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则＝
B．若z1＝，则＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·＝z2·
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
解析：选D 对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒＝，是真命题；对于B、C，易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋i，则|z1|＝|z2|，但z＝4，z＝－2＋2i，是假命题．
8．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围是( )
A．(0,3) B．(－∞，－2)
C．(－2,0) D．(3,4)
解析：选D 整理得z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，对应的点位于第二象限，则解得3＜m＜4.
9．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为( )
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．1－3i
解析：选A 由定义知＝zi＋z，
得zi＋z＝4＋2i，即z＝＝3－i.
10．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则( )
A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1
解析：选B 因为1＋i是实系数方程的一个复数根，所以1－i也是该方程的根，
则1＋i＋1－i＝2＝－b，
(1＋i)(1－i)＝3＝c，
解得b＝－2，c＝3.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数的共轭复数是________．
解析：由题图知z＝2＋i，
则＝＝＝i，
其共轭复数是－i.
答案：－i
12．计算：[(1＋2i)·i100－i]2－30＝________.
解析：原式＝[(1＋2i)－i]2－
＝(1＋i)2＋i＝3i.
答案：3i
13．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝________.
解析：＝＝1－ai，
则＝|1－ai|＝ ＝2，
所以a2＝3.
又因为a为正实数，所以a＝.
答案：
14．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)且＋＝，则复数z在复平面对应的点位于第________象限．
解析：∵a，b∈R且＋＝，
即＋＝，
∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，
即解得
∴z＝7－10i.
∴z对应的点位于第四象限．
答案：四
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i满足下列条件？
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数；
(4)0.
解：(1)当k2－5k－6＝0，
即k＝6或k＝－1时，z是实数．
(2)当k2－5k－6≠0，
即k≠6且k≠－1时，z是虚数．
(3)当即k＝4时，z是纯虚数．
(4)当即k＝－1时，z是0.
16．(本小题满分12分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.求：
(1)z1z2；
(2).
解：因为z2＝＝
＝
＝＝1－3i，
所以(1)z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.
(2)＝＝＝＝＋i.
17．(本小题满分12分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－|＜|z1|，求a的取值范围．
解：∵z1＝＝2＋3i，
z2＝a－2－i，＝a－2＋i，
∴|z1－|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i|
＝ .
又∵|z1|＝，|z1－|＜|z1|，
∴ ＜，
∴a2－8a＋7＜0，解得1＜a＜7.
∴a的取值范围是(1,7)．
18．(本小题满分14分)已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a的取值范围．
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z＋2i＝x＋(y＋2)i，
由z＋2i为实数，得y＝－2.
∵＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i，
由为实数，得x＝4.
∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根据条件，可知
解得2
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．下面三个命题：
①0比－i大；
②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数时成立；
③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1.
其中，正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A ①中实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1是错误的，因为没有标明x，y是否是实数．
2．若复数 z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A．1 B．2
C. D.
解析：选C 法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则由z(1＋i)＝2i，得(a＋bi)·(1＋i)＝2i，
所以(a－b)＋(a＋b)i＝2i，
由复数相等的条件得
解得a＝b＝1，所以z＝1＋i，
故|z|＝＝.
法二：由z(1＋i)＝2i，
得z＝＝＝i－i2＝1＋i，
所以|z|＝＝.
3．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝(1＋ai)·i为“等部复数”，则实数a的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选A 由已知可得z＝(1＋ai)·i＝－a＋i，
所以－a＝1，即a＝－1.
4．已知a∈R，且0
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D ∵0
故复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点(a，a－1)位于第四象限．故选D.
5．已知复数z＝，则z的实部为( )
A．1 B．2
C．－2 D．－1
解析：选D 因为z＝＝＝＝－1＋2i，故z的实部为－1.
6．已知a，b是实数，设i是虚数单位，若a＋i＝，则复数a＋bi为( )
A．2－i B．2＋i
C．1＋2i D．1－2i
解析：选C 因为a＋i＝，整理得(a＋i)(1＋i)＝bi，
∴(a－1)＋(a＋1)i＝bi，
由复数相等的条件得
解得
∴a＋bi＝1＋2i，故选C.
7．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为( )
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
解析：选D ＝－＝－1－3i－2－i＝－3－4i.
8．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2
C．|z－|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|
解析：选D |z|＝≤＝＝|x|＋|y|，D正确．
9．定义运算＝ad＋bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为( )
A．3－i B．1＋3i
C．3＋i D．－1－3i
解析：选D 由已知得zi－z＝4＋2i，
∴z＝＝＝－1－3i.
10．已知f(x)＝x2，i是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A 因为＝＝＋i，所以选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝________.
解析：由题意知A(1,1)，B(－1,3)，
故||＝＝2.
答案：2
12．设复数z满足iz＝－3＋i(i为虚数单位)，则z的实部为________．
解析：由iz＝－3＋i，
得z＝＝＝1＋3i，
则z的实部为1.
答案：1
13．已知i为虚数单位，复数z1＝3－ai，z2＝1＋2i，若在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为________．
解析：＝＝＝－i，
因为在复平面内对应的点在第四象限，
所以⇒－6
14．对于任意两个复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，y1，x2，y2为实数)，定义运算“⊙”为：z1⊙z2＝x1x2＋y1y2.设非零复数ω1，ω2在复平面内对应的点分别为P1，P2，点O为坐标原点．如果ω1⊙ω2＝0，那么在△P1OP2中，∠P1OP2的大小为________．
解析：设1＝x1＋y1i，2＝x2＋y2i(x1，y1，x2，y2为实数)，∵ω1⊙ω2＝0，由定义知x1x2＋y1y2＝0，
∴1⊥2，∴∠P1OP2＝.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限内，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．
解：z＝(a＋bi)＝2i·i·(a＋bi)
＝－2a－2bi，
由|z|＝4，得a2＋b2＝4.①
∵复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，
∴|z|＝|z－|，
把z＝－2a－2bi代入化简，得|b|＝1.②
又∵z对应的点在第一象限内，
∴a<0，b<0.
由①②，得故所求a＝－，b＝－1.
16．(本小题满分12分)已知z＝(a>0)，复数ω＝z(z＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数ω.
解：由已知，ω＝×
＝＝
＝＋i，
∴－＝，
∴a＝2(a>0)，∴ω＝＋3i.
17．(本小题满分12分)已知z＝i－1是方程z2＋az＋b＝0的一个根．
(1)求实数a，b的值．
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明．
解：(1)把z＝i－1代入z2＋az＋b＝0得
(－a＋b)＋(a－2)i＝0，∴a＝2，b＝2.
(2)猜测：－1－i是方程的另一个根．
证明：设另一个根为x2，由根与系数的关系，
得i－1＋x2＝－2，∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程左边得(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝2i－2－2i＋2＝0＝右边，
∴x2＝－1－i是方程的另一个根．
18．(本小题满分14分)已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a，b的值．
(2)若复数z满足|z－a＋bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值．
解：(1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实数根，
∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，
故解得a＝b＝3.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|z－3＋3i|＝2|z|，
得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，
即(x＋1)2＋(y－1)2＝8，
∴Z点的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，2为半径的圆．
如图，当Z点在直线OO1上时，|z|有最大值或最小值．
∵|OO1|＝，半径r＝2，
∴当z＝1－i时，|z|有最小值，且|z|min＝.