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[学业达标]
一、选择题
1．函数f(x)＝的最大值为( )
A. B. C. D．1
【解析】 显然x≥0.当x＝0时，f(x)＝0；
当x>0时，x＋1≥2，∴f(x)≤，
当且仅当x＝1时，等号成立，
∴f(x)max＝.
【答案】 B
2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( )
A．a＜b＜＜
B．a＜＜＜b
C．a＜＜b＜
D.＜a＜＜b
【解析】 取特殊值法．取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a＜＜＜b.故选B.
【答案】 B
3．已知x≥，则f(x)＝有( )
A．最大值为 B．最小值为
C．最大值为1 D.最小值为1
【解析】 ∵x≥，∴x－2≥，
∴f(x)＝＝(x－2)＋≥
2＝1，当且仅当＝，
即x＝3时，等号成立，∴f(x)min＝1.
【答案】 D
4．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是( )
A．0 B．1
C．2 D.4
【解析】 由题意知a＋b＝x＋y，cd＝xy，
∴(a＋b)2＝(x＋y)2≥4xy＝4cd，
∴≥4，当且仅当x＝y时，取等号．
【答案】 D
5．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的关系是( )
A．x>y B．y>x
C．x>y D.y>x
【解析】 因为a，b是不相等的正数，所以x2＝＋<＋＝a＋b＝y2，即x2
二、填空题
6．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________.
【导学号：32750010】
【解析】 x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－＝(x＋y)2，∴(x＋y)2≤，∴|x＋y|≤，即x＋y的最大值为.
【答案】
7．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
【解析】 因为x＞0，y＞0，
所以＋≥2＝，即≤1，解得xy≤3，所以其最大值为3.
【答案】 3
8．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．
【解析】 ∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，
∴(am＋bn)(bm＋an)
＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2
＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)
≥2ab·mn＋2(a2＋b2)
＝4ab＋2(a2＋b2)
＝2(a2＋b2＋2ab)
＝2(a＋b)2＝2，
当且仅当m＝n＝时，取“＝”，
∴所求最小值为2.
【答案】 2
三、解答题
9．已知a，b，x，y∈R＋，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.
【解】 ∵x＋y＝(x＋y)
＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
当且仅当＝时取等号．
又(x＋y)min＝(＋)2＝18，
即a＋b＋2＝18. ①
又a＋b＝10， ②
由①②可得或
10．已知x1，x2，x3为正实数，若x1＋x2＋x3＝1，求证：＋＋≥1.
【证明】 ∵＋x1＋＋x2＋＋x3≥2＋2＋2＝2(x1＋x2＋x3)＝2，
∴＋＋≥1.
[能力提升]
1．设x，y∈R＋，且满足x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是( )
A．40 B．10
C．4 D.2
【解析】 因为x，y∈R＋，∴≤，
∴≤＝10，∴xy≤100.
∴lg x＋lg y＝lg xy≤lg 100＝2.
【答案】 D
2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D.2千米处
【解析】 由已知：y1＝，
y2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)．
费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋
≥2＝8.
当且仅当0.8x＝，
即x＝5时等号成立．
【答案】 A
3．y＝(x＞0)的最小值是________．
【解析】 ∵x＞0，∴y＝＝＋x＋1－1≥2－1.
当且仅当x＋1＝时取等号．
【答案】 2－1
4．若对任意x>0，≤a恒成立，求实数a的取值范围.
【导学号：32750011】
【解】 由x>0，知原不等式等价于
0<≤＝x＋＋3恒成立．
又x>0时，x＋≥2＝2，
∴x＋＋3≥5，当且仅当x＝1时，取等号．
因此min＝5，
从而0<≤5，解得a≥.
故实数a的取值范围为.