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[学业达标]
一、选择题
1．已知方程x2sin A＋2xsin B＋sin C＝0有重根，则△ABC的三边a，b，c的关系满足( )
A．b＝ac B．b2＝ac
C．a＝b＝c D．c＝ab
【解析】 由方程有重根，∴Δ＝4sin2B－4sin Asin C＝0，即sin2B＝sin Asin C，∴b2＝ac.
【答案】 B
2．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则角A的对边的长为( )
A. B. C. D．
【解析】 ∵S△ABC＝bcsin A＝×1×c×sin 60°＝，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos 60°＝1＋16－2×1×4×＝13.
∴a＝.
【答案】 D
3．在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则此三角形的外接圆的半径R＝( )
A. B．1
C．2 D．
【解析】 S△ABC＝acsin B＝c＝2，∴c＝4.
b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－8×＝25，
∴b＝5.∴R＝＝＝.
【答案】 D
4．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )
A. B.
C. D．
【解析】
在△ABC中，由余弦定理可知：
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，
即7＝AB2＋4－2×2×AB×.
整理得AB2－2AB－3＝0.
解得AB＝－1(舍去)或AB＝3.
故BC边上的高AD＝AB·sin B＝3×sin 60°＝.
【答案】 B
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为( )
A．4∶3∶2 B．5∶6∶7
C．5∶4∶3 D．6∶5∶4
【解析】 由题意知：a＝b＋1，c＝b－1，
所以3b＝20acos A＝20(b＋1)·
＝20(b＋1)·，
整理得7b2－27b－40＝0，
解之得：b＝5(负值舍去)，可知a＝6，c＝4.
结合正弦定理可知sin A∶sin B∶sin C＝6∶5∶4.
【答案】 D
二、填空题
6．在△ABC中，B＝60°，AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD的长为 ．
【解析】 画出三角形知AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos 60°＝3，∴AD＝.
【答案】
7．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm，其夹角α的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是 cm2.
【解析】 解方程5x2－7x－6＝0，得x＝2或x＝－，
∵|cos α|≤1，∴cos α＝－，sin α＝.
故S△＝×3×5×＝6(cm2)．
【答案】 6
8．(2016·郑州模拟)在△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为 ．
【解析】 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
即49＝a2＋25－2×5×acos 120°.
整理得a2＋5a－24＝0，解得a＝3或a＝－8(舍)．
∴S△ABC＝acsin B＝×3×5sin 120°＝.
【答案】
三、解答题
9．已知△ABC的三内角满足cos(A＋B)cos(A－B)＝1－5sin2C，求证：a2＋b2＝5c2. 【导学号：05920063】
【证明】 由已知得cos2Acos2B－sin2Asin2B＝1－5sin2C，
∴(1－sin2A)(1－sin2B)－sin2Asin2B＝1－5sin2C，
∴1－sin2A－sin2B＝1－5sin2C，
∴sin2A＋sin2B＝5sin2C.
由正弦定理得，所以2＋2＝52，
即a2＋b2＝5c2.
10．(2014·全国卷Ⅱ)四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
【解】 (1)由题设及余弦定理得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C＝13－12cos C， ①
BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcos A＝5＋4cos C． ②
由①，②得cos C＝，故C＝60°，BD＝.
(2)四边形ABCD的面积
S＝AB·DAsin A＋BC·CDsin C
＝·sin 60°＝2.
[能力提升]
1．已知锐角△ABC中，||＝4，||＝1，△ABC的面积为，则·的值为( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
【解析】 由题意S△ABC＝||||sin A＝，
得sin A＝，又△ABC为锐角三角形，
∴cos A＝，∴·＝||||cos A＝2.
【答案】 A
2．在斜三角形ABC中，sin A＝－cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为( )
A. B. C. D．
【解析】 由题意知，sin A＝－cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，在等式－cos B·cos C＝sin B·cos C＋cos B·sin C两边除以cos B·cos C得tan B＋tan C＝－，tan(B＋C)＝＝－1＝－tan A，所以角A＝.
【答案】 A
3．(2015·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为 ．
【解析】 在△ABC中，由cos A＝－可得sin A＝，
所以有解得
【答案】 8
4．(2015·陕西高考)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行．
(1)求A；
(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．
【解】 (1)因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，
由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，
又sin B≠0，从而tan A＝.
由于0
而a＝，b＝2，A＝，
得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0.
因为c>0，所以c＝3.
故△ABC的面积为bcsin A＝.
法二 由正弦定理，得＝，从而sin B＝.
又由a>b，知A>B，所以cos B＝.
故sin C＝sin(A＋B)＝sin
＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝.
所以△ABC的面积为absin C＝.