一、选择题
1．设a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，则下列结论中正确的是( )
A．ac>bd B．a－c>b－d
C．a＋c>b＋d D.>
答案 C
解析 ∵a>b，c>d，∴a＋c>b＋d.
2．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( )
A．M>N B．M≥N C．M
解析 ∵M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)
＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0.∴M>N.
3．不等式x2－ax－12a2<0(其中a<0)的解集为( )
A．(－3a,4a) B．(4a，－3a) C．(－3,4) D．(2a,6a)
答案 B
解析 方程x2－ax－12a2＝0的两根为4a，－3a，
且4a<－3a，∴4a
A．3B．6C．9D．12
答案 A
解析 由题意知y＝，所以＝＝＋≥＋＝＋＝3.当且仅当x2＝9z2时等号成立，所以的最小值为3.
5．方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是( )
A．(－5，－4] B．(－∞，－4]
C．(－∞，－2) D．(－∞，－5)∪(－5，－4]
答案 A
解析 令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，要使f(x)＝0的两根都大于2，则
解得：⇒－5
A．4B．4C．9D．18
答案 D
解析 ∵log3m＋log3n＝log3mn≥4，
∴mn≥34，又由已知条件隐含着m>0，n>0.
故m＋n≥2≥2＝18，当且仅当m＝n＝9时取到最小值．
所以m＋n的最小值为18.
7．在△ABC中，三顶点分别为A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC内部及其边界上运动，则m＝y－x的取值范围为( )
A．[1,3]B．[－3,1]C．[－1,3]D．[－3，－1]
答案 C
解析 直线m＝y－x斜率k1＝1＞kAB＝，
∴经过C时m最小为－1，经过B时m最大为3.
8．已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1 (i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 由(1－aix)2<1，得1－2aix＋(aix)2<1，
即aix(aix－2)<0.又a1>a2>a3>0，
∴0
∴0
A.B.C．5D．6
答案 C
解析 ∵x＋3y＝5xy，∴＋＝1.
∴3x＋4y＝(3x＋4y)×1＝(3x＋4y)
＝＋＋＋≥＋2＝5，
当且仅当＝，即x＝1，y＝时等号成立．
10．已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b.若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为( )
A．[－2,2]B．[－2,3]C．[－3,2]D．[－3,3]
答案 D
解析 ∵a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，∴a·b＝2(x＋z)＋3(y－z)＝0，即2x＋3y－z＝0.
又|x|＋|y|≤1表示的区域为图中阴影部分，
∴当2x＋3y－z＝0过点B(0，－1)时，zmin＝－3，当2x＋3y－z＝0过点A(0,1)时，zmax＝3.∴z∈[－3,3]．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是________．
答案 (－1,3)
解析 ∵x2－2x－(a2－2a－4)≤0的解集为∅，
∴Δ＝4＋4(a2－2a－4)<0，
∴a2－2a－3<0，∴－1
答案 (－7,3)
解析 因为f(x)为偶函数，所以f(|x＋2|)＝f(x＋2)，则f(x＋2)＜5可化为f(|x＋2|)＜5，即|x＋2|2－4|x＋2|＜5，(|x＋2|＋1)(|x＋2|－5)＜0，所以|x＋2|＜5，解得－7＜x＜3，所以不等式f(x＋2)＜5的解集是(－7,3)．
13．若变量x，y满足条件则z＝x＋y的最大值为________．
答案
解析 作出可行域如图所示，作出直线l：x＋y＝0，由图可知当l平移到A点时，z最大．
解方程组
得
∴A，∴zmax＝＋＝＝.
14．设a＋b＝2，b＞0, 则当a＝________时，＋取得最小值.
答案 －2
解析 因为a＋b＝2，所以＋＝＋＝＋＋≥1＋.显然当a＜0时取最小值，当且仅当＝，即b＝2|a|时，上式取等号，此时b＝－2a，联立a＋b＝2，解得a＝－2，此时1＋＝1－＝.
三、解答题
15．当x>3时，求函数y＝的值域．
解 ∵x>3，∴x－3>0.
∴y＝＝
＝2(x－3)＋＋12≥2＋12＝24.
当且仅当2(x－3)＝，
即x＝6时，上式等号成立，
∴函数y＝的值域为[24，＋∞)．
16．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.
解 (1)由题意，知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，∴，解得a＝3.
∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0
即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>.
∴所求不等式的解集为.
(2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，若此不等式解集为R，则b2－4×3×3≤0，
∴－6≤b≤6.
17．已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
解 法一 f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.
①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，
f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a，解得－3≤a<－1；
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.
综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.
法二 令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得
x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或
解得－3≤a≤1.
18．某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千元．甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲产品所需工时分别为1时、2时，加工一件乙产品所需工时分别为2时、1时，A、B两种设备每月有效使用工时分别为400和500.如何安排生产可使月收入最大？
解 设甲、乙两种产品的产量分别为x，y件，约束条件是
，目标函数是f＝3x＋2y，要求出适当的x，y使f＝3x＋2y取得最大值．
作出可行域，如图．
设3x＋2y＝a，a是参数，将它变形为y＝－x＋，
这是斜率为－，随a变化的一组直线．
当直线与可行域相交且截距最大，即过A点时，
目标函数f取得最大值．由得
因此，甲、乙两种产品的每月产量分别为200,100件时，可得最大收入800千元．