课时跟踪检测(八) 圆的切线的性质及判定定理
一、选择题
1.如图，AB切⊙O于点B，延长AO交⊙O于点C，连接BC.若∠A＝40°，则∠C等于( )
A．20° B．25° C．40° D．50°
解析：选B 连接OB，因为AB切⊙O于点B，
所以OB⊥AB，即∠ABO＝90°，
所以∠AOB＝50°，
又因为点C在AO的延长线上，且在⊙O上，
所以∠C＝∠AOB＝25°.
2．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于D.若AB＝6，BC＝8，则BD等于( )
A．4 B．4.8
C．5.2 D．6
解析：选B ∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AC.
∵BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC.
∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.
∴BD＝＝4.8.
3．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( )
A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD
解析：选A 当AB＝AC时，如图，
连接AD，因为AB是⊙O的直径，
所以AD⊥BC，所以CD＝BD.
因为AO＝BO，
所以OD是△ABC的中位线，
所以OD∥AC.
因为DE⊥AC，所以DE⊥OD，
所以DE是⊙O的切线．
所以选项B正确．
当CD＝BD时，AO＝BO，
同选项B，所以选项C正确．
当AC∥OD时，因为DE⊥AC，
所以DE⊥OD.
所以DE是⊙O的切线．
所以选项D正确．
4．如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若AD＝DC，则sin ∠ACO等于( )
A. B. C. D.
解析：选A 连接BD，则BD⊥AC.
∵AD＝DC，∴BA＝BC，
∴∠BCA＝45°.
∵BC是⊙O的切线，切点为B，
∴∠OBC＝90°.
∴sin ∠BCO＝＝＝，
cos ∠BCO＝＝＝.
∴sin ∠ACO＝sin(45°－∠BCO)
＝sin 45°cos ∠BCO－cos 45°sin ∠BCO
＝×－×＝.
二、填空题
5.如图，⊙O的半径为3 cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB＝OA，动点P从点A出发，以π cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间t为________s时，BP与⊙O相切．
解析：连接OP.
当OP⊥PB时，BP与⊙O相切．
因为AB＝OA，OA＝OP，
所以OB＝2OP，
又因为∠OPB＝90°，所以∠B＝30°，
所以∠O＝60°.
因为OA＝3 cm，
所以＝＝π，圆的周长为6π，
所以点P运动的距离为π或6π－π＝5π；
所以当t＝1 s或5 s时，BP与⊙O相切．
答案：1或5
6．已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1.则圆O的半径R＝________.
解析：
如图，连接AB，
则AB＝＝.
由AB2＝PB·BC，
∴BC＝3，在Rt△ABC中，
AC＝＝2.
∴半径R＝.
答案：
7．圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D，E，则∠DAC＝________，DC＝________.
解析：连接OC.
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.
又∠DCA＋∠ACO＝90°，
∠ACO＋∠OCB＝90°，
∴∠DCA＝∠OCB.
∵OC＝3，BC＝3，
∴△OCB是正三角形．
∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°.
∴∠DAC＝30°.
在Rt△ACB中，AC＝＝3，
DC＝ACsin 30°＝.
答案：30°
三、解答题
8．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E.
求证：(1)DE⊥AC；
(2)BD2＝CE·CA.
证明：(1)连接OD，AD.
∵DE是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DE.
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.又AB＝AC，
∴BD＝DC.又O为AB的中点，
∴OD∥AC.∴DE⊥AC.
(2)∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴△CDE∽△CAD.
∴＝.∴CD2＝CE·CA.
又∵BD＝DC，∴BD2＝CE·CA.
9.如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，AB＝AC，连接AD交⊙O于H，直线FH交BC的延长线于G.
(1)求证：圆心O在AD上；
(2)求证：CD＝CG；
(3)若AH∶AF＝3∶4，CG＝10，求FH的长．
解：(1)证明：由题知AE＝AF，
CF＝CD，BD＝BE，
又∵AB＝AC，
∴CD＝CF＝BE＝BD.
∴D为BC中点．
∴AD是∠BAC的角平分线．
∴圆心O在AD上．
(2)证明：连接DF.
∵O在AD上，∴DH为直径．∴∠DFH＝90°.
∵CF＝CD，∴∠CFD＝∠FDC.
∴∠G＝90°－∠FDC＝90°－∠CFD＝∠CFG.
∴CG＝CF.∴CG＝CD.
(3)∵∠AFH＝∠90°－∠CFD＝90°－∠FDC＝∠FDA，
又∠FAD为公共角，则△AHF∽△AFD.
∴＝＝.
∴在Rt△HFD中，FH∶FD∶DH＝3∶4∶5.
∵△HDF∽△DGF，
∴DF∶GF∶DG＝3∶4∶5.
∴DF＝3×20×＝12，∴FH＝FD＝9.
10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE.
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若∠DBC＝30°，DE＝1 cm，求BD的长．
解：(1)证明：连接OA.
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA＝∠EDA.
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD.
∴∠OAD＝∠EDA.
∴OA∥CE.
∵AE⊥DE，
∴AE⊥OA.
∴AE是⊙O的切线．
(2)∵BD是直径，
∴∠BCD＝∠BAD＝90°.
∵∠DBC＝30°，∴∠BDC＝60°.
∴∠BDE＝120°.
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA＝∠EDA＝60°.
∴∠ABD＝∠EAD＝30°.
在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
∴AD＝2DE.
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2AD＝4DE＝4 (cm)．