1.5.1 曲边梯形的面积
1.5.2 汽车行驶的路程
1.5.3 定积分的概念
[学习目标]
1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．
2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．
3．了解定积分的概念．
4．了解定积分的几何意义和性质．
[知识链接]
1．如何计算下列两图形的面积？
答 ①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．
2．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？
答 为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．
3．当f(x)在区间[a，b]上且f(x)<0时，f(x)dx表示的含义是什么？
答 当f(x)在区间[a，b]上值小于零时，f(x)dx表示由y＝f(x)，x＝a，x＝b，y＝0所围成的图形的面积的相反数．
[预习导引]
1．曲边梯形的面积
(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．
(2)求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．
(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．
2．求变速直线运动的(位移)路程
如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
3．定积分的概念
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0
如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b，y＝0和y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．
5．定积分的性质
(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；
(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a
例1 求抛物线f(x)＝1＋x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的曲边梯形的面积S.
解 (1)分割：把区间[0,1]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，其长度Δx＝，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积记为ΔSi(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．
ΔSi＝f·Δx＝·(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：Si＝.
(4)取极限：S＝li·
＝1＋li2·
＝1＋li
＝1＋＝.
所以所求的曲边梯形的面积为.
规律方法 分割、近似代替、求和、取极限是求曲边梯形面积的四个步骤，求曲边梯形的面积时需理解以下几点：
①思想：以直代曲；②步骤：化整为零―→以直代曲―→积零为整―→无限逼近；③关键：以直代曲；④结果：分割越细，面积越精确．
跟踪演练1 用定积分的定义求由y＝3x，x＝0，x＝1，y＝0围成的图形的面积．
解 (1)分割：把区间[0,1]等分成n个小区间
(i＝1,2，…，n)．其长度为Δx＝，把三角形分成一个小三角形和(n－1)个小梯形，其面积分别记为ΔSi(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替：用小矩形的面积代替小三角形和小梯形的面积，取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
则ΔSi＝fΔx＝3··＝(i－1)(i＝1,2，…，n)．
(3)作和：Si＝(i－1)
＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝·.
(4)取极限：S＝li(i－1)
＝li·＝.
要点二 求变速运动的路程
例2 用定积分定义求物体自由落体的下落距离．已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．
解 (1)分割：将时间区间[0，t]分成n等份．
把时间[0，t]分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，
每个小区间所表示的时间段Δt＝－t＝，在各小区间物体下落的距离记作Δsi(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．
在上任取一时刻ξi(i＝1,2，…，n)，可取ξi使v(ξi)＝gt近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt＝内所经过的距离可近似表示为Δsi≈g·t·(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：sn＝si
＝··t·
＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝gt2.
(4)取极限：s＝ligt2＝gt2.
规律方法 求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．
跟踪演练2 一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)．
解 (1)分割：在区间[0,2]上等间隔插入n－1个点，将区间分成n个小区间.记第i个小区间为(i＝1,2，…，n)，Δt＝.则汽车在时间段，，上行驶的路程分别记为：Δs1，Δs2，…，Δsi，…，Δsn，有sn＝si.
(2)近似代替：取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
Δsi≈v·Δt＝·
＝－·＋(i＝1,2，…，n)．
sn＝si＝
＝－8·＋10.
(3)取极限：s＝lisn
＝li＝.
要点三 利用定积分定义计算定积分
例3 利用定积分定义计算(1＋x)dx的值．
解 (1)分割：∵f(x)＝1＋x在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n等份，则每个区间长度为Δxi＝，
(2)近似替代：在[xi－1，xi]＝[1＋，1＋]上取ξi＝xi－1＝1＋(i＝1,2,3，…，n)，
于是f(ξi)＝f(xi－1)＝1＋1＋＝2＋，
(3)求和：从而(ξ1)Δxi＝(2＋)·
＝(＋)
＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝2＋·＝2＋，
(4)取极限：(1＋x)dx＝li (2＋)＝2＋＝.
规律方法 (1)利用定积分的定义计算定积分的值能加深对定积分的概念及其几何意义的理解，用定积分的定义求定积分的步骤是：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．(2)在每个小区间[xi－1，xi]上对ξi的选取是任意的，为了计算方便，ξi可都取为每个小区间的左端点(或都取为右端点)．
跟踪演练3 利用定积分的定义，计算(3x＋2)dx的值．
解 令f(x)＝3x＋2.
(1)分割
在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分成n个小区间[，](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
则Sn＝()·Δx
＝＋2]·
＝＋]
＝5＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝×＋5＝－.
(3)取极限
(3x＋2)dx＝Sn＝ (－)＝.
要点四 定积分几何意义的应用
例4 用定积分的意义求下列各式的值．
(1)－1(3x＋1)dx； (2)∫－dx.
解 (1)由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：
－1(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，
∴(3x＋1)dx＝××(3×3＋1)－·2＝－＝16.
(2)
由y＝可知，x2＋y2＝1，(y≥0)图象如图，由定积分的几何意义知∫－dx等于圆心角为120°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝×π×12－2××1×1×sincos
＝－，
S矩形＝|AB|·|BC|＝2××＝，
∴∫－dx＝－＋＝＋.
规律方法 (1)用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是：
①准确画出各曲线围成的平面区域；
②把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x轴下方有没有区域；
③解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限；
④根据积分的性质写出结果．
(2)利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．
跟踪演练4 利用定积分的几何意义求：
(1)－2dx； (2)0dx.
解 (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，所以有
－2dx＝＝2π.
(2)∵被积函数为y＝，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一的圆，由定积分的几何意义可知，所求的定积分即为该四分之一圆的面积．
∴0dx＝π·12＝π.
1．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为( )
A. B．
C． D．
答案 B
解析 区间[1,3]的长度为2，故n等分后，每个小区间的长度均为.
2．定积分f(x)dx的大小( )
A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关
C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关
答案 A
3．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．
答案 1.02
解析 将区间5等分所得的小区间为，，，，，
于是所求平面图形的面积近似等于
＝×＝1.02.
4．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：
①xdx________x2dx；
②dx________2dx.
答案 ①> ②<
1．求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：
(1)分割：n等分区间[a，b]；
(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；
(3)求和：(ξi)·；
(4)取极限：S＝li(ξi)·.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．
2．定积分f(x)dx是一个和式f(ξi)的极限，是一个常数．
3．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．
4．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.
一、基础达标
1．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值，可以近似代替为( )
A．f B．f
C．f D．f(0)
答案 C
2．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为( )
A. B．
C．1 D．
答案 B
解析 曲线v(t)＝t与直线t＝0，t＝1，横轴围成的三角形面积S＝即为这段时间内物体所走的路程．
3．由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是( )
A. B．
C． D．
答案 D
解析 将区间[0,1]四等分，得到4个小区间：，，，，
以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值
S＝3×＋3×＋3×＋13×＝.
4．下列命题不正确的是( )
A．若f(x)是连续的奇函数，则－af(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则－af(x)dx＝2f(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx＞0
D．若f(x) 在[a，b]上连续且f(x)dx>0，则f(x)在[a，b]上恒正
答案 D
解析 对于A，f(－x)＝－f(x)，－af(x)dx＝－af(x)dx＋f(x)dx＝－∫a0f(x)dx＋f(x)dx＝0，同理B正确；由定积分的几何意义知，当f(x)>0时，f(x)dx>0即C正确；但f(x)dx>0，不一定有f(x)恒正，故选D.
5．已知xdx＝2，则－txdx等于________．
答案 －2
解析 ∵f(x)＝x在[－t，t]上是奇函数，
∴－txdx＝0.而－txdx＝－txdx＋xdx，
又xdx＝2，∴－txdx＝－2.
6．由y＝sinx，x＝0，x＝－π，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S＝________.
答案 －－πsinxdx
解析 由定积分的意义知，由y＝sinx，x＝0，x＝－π，y＝0围成图形的面积为S＝－－πsinxdx.
7．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积．
解 令f(x)＝x2.
(1)分割
将区间[0,2]n等分，分点依次为
x0＝0，x1＝，x2＝，…，xn－1＝，xn＝2.
第i个区间为(i＝1,2，…，n)，每个区间长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
Sn＝·Δx＝2·＝2
＝(12＋22＋…＋n2)
＝·＝.
(3)取极限
S＝liSn＝li＝，
即所求曲边梯形的面积为.
二、能力提升
8．已知f(x)＝x3－x＋sinx，则－2f(x)dx的值为( )
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．不确定
答案 A
解析 易知f(x)为奇函数，由奇函数的性质－2f(x)dx＝－f(x)dx，而－2f(x)dx＝－2f(x)dx＋f(x)dx＝0.
9．设a＝xdx，b＝x2dx，c＝x3dx，则a，b，c的大小关系是( )
A．c>a>b B．a>b>c
C．a＝b>c D．a>c>b
答案 B
解析 根据定积分的几何意义，易知x3dx＜x2dx
答案 －2
解析 因为f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx，
所以f(x)dx＝f(x)dx－f(x)dx＝－2.
11．已知∫0sinxdx＝sinxdx＝1，∫0x2dx＝，求下列定积分：
(1)sinxdx；(2)∫0(sinx＋3x2)dx.
解 (1)sinxdx＝∫0sinxdx＋sinxdx＝2.
(2)∫0(sinx＋3x2)dx＝∫0sinxdx＋3∫0x2dx＝1＋.
12．已知函数f(x)＝，求f(x)在区间[－2,2π]上的定积分．
解 由定积分的几何意义知
－2x3dx＝0，2xdx＝＝π2－4，
∫cosxdx＝0，
由定积分的性质得
f(x)dx＝－2x3dx＋2xdx＋∫cosxdx
＝π2－4.
三、探究与创新
13．利用定积分的定义计算(－x2＋2x)dx的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．
解 令f(x)＝－x2＋2x.
(1)分割
在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分为n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、作和
取ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，则
Sn＝·Δx
＝·
＝－＋[(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)＋…＋2n]
＝－＋·
＝－＋＋3＋，
(3)取极限
(－x2＋2x)dx＝liSn＝li
＝，
(－x2＋2x)dx＝的几何意义为由直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线f(x)＝－x2＋2x所围成的曲边梯形的面积.