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课时提升作业 十三
用数学归纳法证明不等式举例
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.用数学归纳法证明不等式++…+<(n≥2,n∈N+)的过程中,由n=k递推到n=k+1时不等式左边 ( )
A.增加了一项
B.增加了两项和
C.增加了B中两项但减少了一项
D.以上各种情况均不对
【解析】选C.因为n=k时,左边=++…+,n=k+1时,左边=++…+++,
所以增加了两项和,少了一项.
2.(2016·淮南高二检测)用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取 ( )
A.2 B.3 C.5 D.6
【解析】选C.当n≤4时,2n
【补偿训练】用数学归纳法证明2n≥n2(n≥5,n∈N+)成立时第二步归纳假设的正确写法是 ( )
A.假设n=k时命题成立
B.假设n=k(k∈N+)时命题成立
C.假设n=k(k≥5)时命题成立
D.假设n=k(k>5)时命题成立
【解析】选C.由题意知n≥5,n∈N+,
所以应假设n=k(k≥5)时命题成立.
3.(2016·长春高二检测)证明1+++…+>(n∈N*),假设当n=k时成立,当n=k+1时,左端增加的项数为 ( )
A.1项 B.k-1项
C.k项 D.2k项
【解析】选D.当n=k时,不等式左端为1+++…+,当n=k+1时,不等式左端为1+++…+++…+,左端增加了+…+,共2k项.
二、填空题(每小题6分,共12分)
4.用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N+)”时,第一步的验证为____________.
【解析】当n=1时,21+1≥12+1+2,即4≥4成立.
答案:21+1≥12+1+2
5.(2016·南昌高二检测)已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a=______,b=______,c=________.
【解析】当n=1时,3a-3b+c=1,
当n=2时,18a-9b+c=7,
当n=3时,81a-27b+c=34,
解得,a=,b=c=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.(2016·广州高二检测)证明:1+++…+≥(n∈N*).
【证明】(1)当n=1时,不等式为1≥1,显然成立.
(2)假设当n=k时不等式成立,即1+++…+≥.
那么,当n=k+1时,1+++…++≥+,而+-
=
=>0,
即+>,
所以1+++…++≥,
即当n=k+1时不等式也成立.
综合(1)(2)得,不等式对一切正整数n都成立.
7.(2016·济南高二检测)求证:+++…+>(n≥2,n∈N+).
【解题指南】本题由n=k到n=k+1时的推证过程中,n=k时,首项是,尾项是,分母是从k+1开始的连续正整数,因而当n=k+1时,首项应为,尾项是,与n=k时比较,后面增加,,共三项,而不只是增加一项,且还减少了一项.
【证明】(1)当n=2时,左边=+++=>,不等式成立.
(2)假设n=k(k≥2,k∈N+)时,不等式成立,
即++…+>,
则当n=k+1时,++…++++=++…++
>+
>+
=+=.
所以当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)(2),知原不等式对一切n≥2且n∈N+都成立.
8.数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N+).
(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an.
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.
【解析】(1)a1=1,a2=,a3=,a4=,
由此猜想an=(n∈N+).
(2)当n=1时,a1=1,结论成立.
假设n=k(k≥1)时,结论成立,即ak=,
那么当n=k+1时,
ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.
所以2ak+1=2+ak,
所以ak+1===.
这表明当n=k+1时,结论成立.
所以an=(n∈N+).
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.用数学归纳法证明:1+++…+
A.1 B.1+
C. D.1++
【解析】选D.当n=2时,左边最后一项为=,所以左边的项为1++.
2.(2016·济南高二检测)已知数列的前n项和为Sn,且Sn=2n-an(n∈N*),若已经算出a1=1,a2=,则猜想an= ( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.因为a1=1,a2=,由
S3=1++a3=6-a3,所以a3=,同理,a4=.
猜想,得an=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·太原高二检测)在△ABC中,不等式++≥成立;在四边形ABCD中,不等式+++≥成立;在五边形ABCDE中,不等式++++≥成立.猜想在n边形A1A2…An中,类似成立的不等式为__.
【解析】由题中已知不等式可猜想:
+++…+≥(n≥3且n∈N*).
答案:+++…+≥(n≥3且n∈N*)
4.设a,b均为正实数,n∈N+,已知M=(a+b)n,N=an+nan-1b,则M,N的大小关系为_
.
【解析】由贝努利不等式(1+x)n>1+nx(x>-1,且x≠0,n>1,n∈N+),知当n>1时,令x=,所以>1+n·,
所以>1+n·,即(a+b)n>an+nan-1b,
当n=1时,M=N,故M≥N.
答案:M≥N
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2016·苏州高二检测)已知函数f(x)=x3-x,数列{an}满足条件:a1≥1,且an+1≥f′(an+1),证明:an≥2n-1(n∈N+).
【证明】由f(x)=x3-x,得f′(x)=x2-1.
因此an+1≥f′(an+1)=(an+1)2-1=an(an+2).
(1)当n=1时,a1≥1=21-1,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时,不等式成立,即ak≥2k-1.
当n=k+1时,
ak+1≥ak(ak+2)≥(2k-1)(2k-1+2)=22k-1.
又k≥1,所以22k≥2k+1,
所以当n=k+1时,ak+1≥2k+1-1,即不等式成立.
根据(1)和(2)知,对任意n∈N+,an≥2n-1都成立.
6.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+2n+1(n∈N+).
(1)求证{an-2n}为等差数列.
(2)设数列{bn}满足bn=2log2(an+1-n).(n∈N+)
证明:…>(n∈N+).
【证明】(1)由an+1=an+2n+1得
(an+1-2n+1)-(an-2n)=1,
因此{an-2n}是等差数列.
(2)an-2n=(a1-2)+(n-1)=n-1,即an=2n+n-1,
bn=2log2(an+1-n)=2n.
下面用数学归纳法证明
···…·>.
①当n=1时,左端=>=右端,不等式成立;
②假设n=k(k≥1)时不等式成立,即
···…·>,
当n=k+1时,
···…··
>·=
=>.
由①②知不等式···…·>对于一切n∈N+都成立.
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