1.2 导数的计算
1.2.1 几个常用函数的导数
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
[学习目标]
1．能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．
2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
[知识链接]
在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？
答 (1)计算，并化简；
(2)观察当Δx趋近于0时，趋近于哪个定值；
(3)趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．
[预习导引]
1．几个常用函数的导数
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝
f′(x)＝－
f(x)＝
f′(x)＝
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a(a>0，且a≠1)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝(a>0，且a≠1)
f(x)＝ln x
f′(x)＝
要点一 利用导数定义求函数的导数
例1 用导数的定义求函数f(x)＝2 013x2的导数．
解 f′(x)＝
＝
＝
＝ (4 026x＋2 013Δx)
＝4 026x.
规律方法 解答此类问题，应注意以下几条：
(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤．
(2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N*)等也趋于0.
(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用．
跟踪演练1 用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．
解 y′＝
＝
＝
＝ (2x＋a＋Δx)＝2x＋a.
要点二 利用导数公式求函数的导数
例2 求下列函数的导数
(1)y＝sin ；(2)y＝5x；(3)y＝；(4)y＝；(5)y＝log3x.
解 (1)y′＝0；
(2)y′＝(5x)′＝5xln 5；
(3)y′＝(x－3)′＝－3x－4；
(4)y′＝′＝′＝x－＝；
(5)y′＝(log3x)′＝.
规律方法 求简单函数的导函数的基本方法：
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．
跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y＝x8；(2)y＝x；(3)y＝x；(4)y＝logx.
解 (1)y′＝8x7；
(2)y′＝xln ＝－xln 2；
(3)∵y＝x＝x，∴y′＝x；
(4) y′＝＝－.
要点三 利用导数公式求曲线的切线方程
例3 求过曲线y＝sin x上点P且与过这点的切线垂直的直线方程．
解 ∵y＝sin x，∴y′＝cos x，
曲线在点P处的切线斜率是：
y′|x＝＝cos＝.
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－，
故所求的直线方程为y－＝－，
即2x＋y－－＝0.
规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．
跟踪演练3 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解 ∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，
则y′|x＝x0＝2x0，
又∵PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，
∴k＝2x0＝1，即x0＝，所以切点为M.
∴所求的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
1．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝( )
A．0 B．2x
C．6 D．9
答案 C
解析 ∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.
2．函数f(x)＝，则f′(3)等于( )
A. B．0
C． D．
答案 A
解析 ∵f′(x)＝()′＝，∴f′(3)＝＝.
3．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A.∪ B．[0，π)
C． D．∪
答案 A
解析 ∵(sin x)′＝cos x，∵kl＝cos x，∴－1≤kl≤1，
∴αl∈∪.
4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．
答案 e2
解析 ∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.
∴S△＝×1×＝e2.
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x，
所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.
一、基础达标
1．下列结论中正确的个数为( )
①y＝ln 2，则y′＝；②y＝，则y′|x＝3＝－；③y＝2x，则y′＝2xln 2；④y＝log2x，则y′＝.
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 D
解析 ①y＝ln 2为常数，所以y′＝0.①错．②③④正确．
2．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为( )
A. B．或
C． D．
答案 B
解析 y′＝′＝－＝－4，x＝±，故选B.
3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于( )
A．4 B．－4
C．5 D．－5
答案 A
解析 f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4.
4．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
答案 B
解析 ∵f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x＝1，得x0＝±，即在点和点处有斜率为1的切线．
5．曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是________．
答案 x＋y－6＝0
解析 ∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－1，
∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为：
y－3＝－(x－3)即x＋y－6＝0.
6．若曲线y＝x－在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.
答案 64
解析 ∵y＝x－，∴y′＝－x－，
∴曲线在点处的切线斜率k＝－a－，
∴切线方程为y－a－＝－a－(x－a)．
令x＝0得y＝a－；令y＝0得x＝3a.
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝·3a·a－＝a＝18，∴a＝64.
7．求下列函数的导数：
(1) y＝；(2)y＝；(3)y＝－2sin ；
(4)y＝log2x2－log2x.
解 (1)y′＝′＝′＝x－1＝x－＝.
(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.
(3)∵y＝－2sin
＝2sin ＝2sin cos ＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，
∴y′＝(log2x)′＝.
二、能力提升
8．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为( )
A. B．－
C．－e D．e
答案 D
解析 y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则
∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.
9．曲线y＝ln x在x＝a处的切线倾斜角为，则a＝________.
答案 1
解析 y′＝，∴y′|x＝a＝＝1，∴a＝1.
10．点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为________．
答案
解析
根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1.
∵y′＝(ex)′＝ex，
∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为.
11．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值．
解 ∵f(x)＝cos x，g(x)＝x，
∴f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，g′(x)＝x′＝1，
由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，
即sin x≥1，但sin x∈[－1,1]，
∴sin x＝1，∴x＝2kπ＋，k∈Z.
12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解 根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点坐标为，
切点到直线x－y－2＝0的距离
d＝＝，
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
三、探究与创新
13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 014(x)．
解 f1(x)＝(sin x)′＝cos x，
f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，
f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，
f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，
f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，
f6(x)＝f2(x)，…，
fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4，
∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x．
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
[学习目标]
1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．
2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．
[知识链接]
前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？
答 利用导数的运算法则．
[预习导引]
1．导数运算法则
法则
语言叙述
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数
′＝(g(x)≠0)
两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方
2．复合函数的求导法则
复合函数
的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))
复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积
要点一 利用导数的运算法则求函数的导数
例1 求下列函数的导数：
(1) y＝x3－2x＋3；
(2)y＝(x2＋1)(x－1)；
(3)y＝3x－lg x.
解 (1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2.
(2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，
∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.
(3)函数y＝3x－lg x是函数f(x)＝3x与函数g(x)＝lg x的差．由导数公式表分别得出f′(x)＝3xln 3，g′(x)＝，利用函数差的求导法则可得
(3x－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln 3－.
规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．
跟踪演练1 求下列函数的导数：
(1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋xcos x；
(3)y＝ex·ln x；(4)y＝lg x－.
解 (1)y′＝－12x2；
(2)y′＝(3x2＋xcos x)′＝6x＋cos x－xsin x；
(3)y′＝＋ex·ln x；
(4)y′＝＋.
要点二 求复合函数的导数
例2 求下列函数的导数：
(1)y＝ln(x＋2)；
(2)y＝(1＋sin x)2；
解 (1)y＝ln u，u＝x＋2
∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(x＋2)′＝·1＝.
(2)y＝u2，u＝1＋sin x，
∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(1＋sin x)′
＝2u·cos x＝2cos x(1＋sin x)．
规律方法 应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：
(1)中间变量的选取应是基本函数结构．
(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．
(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．
(4)善于把一部分表达式作为一个整体．
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．
跟踪演练2 (1)y＝e2x＋1；
(2)y＝(－2)2.
解 (1)y＝eu，u＝2x＋1，
∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
(2)法一 ∵y＝(－2)2＝x－4＋4，
∴y′＝x′－(4)′＋4′
＝1－4×x－＝1－.
法二 令u＝－2，
则yx′＝yu′·ux′＝2(－2)·(－2)′＝
2(－2)＝1－.
要点三 导数的应用
例3 求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程．
解 设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为
k＝f′(x0)＝3x－2
故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0) ①
∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x－2x0 ②
又∵(1，－1)在切线上，
∴将②式和(1，－1)代入①式得
－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)．
解得x0＝1或x0＝－.
故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－(x－1)．
即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．
跟踪演练3 已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3 s时物体的瞬时速度．
解 ∵s(t)＝＋2t2＝－＋2t2＝－＋2t2，
∴s′(t)＝－＋2·＋4t，
∴s′(3)＝－＋＋12＝，
即物体在t＝3 s时的瞬时速度为 m/s.
1．下列结论不正确的是( )
A．若y＝3，则y′＝0
B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3
C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1
D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x
答案 D
解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D项，∵y＝sin x＋cos x，
∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x.
2．函数y＝的导数是( )
A. B．
C． D．
答案 C
解析 y′＝′＝
＝.
3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2
答案 A
解析 ∵y′＝＝，
∴k＝y′|x＝－1＝＝2，
∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
4．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
答案 ln 2－1
解析 设切点为(x0，y0)，
∵y′＝，∴＝，
∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝×2＋b，∴b＝ln 2－1.
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.
一、基础达标
1．设y＝－2exsin x，则y′等于( )
A．－2excos x B．－2exsin x
C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
答案 D
解析 y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)．
2．当函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝( )
A．a B．±a
C．－a D．a2
答案 B
解析 y′＝′＝＝，
由x－a2＝0得x0＝±a.
3．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )
A．2 B．
C．－ D．－2
答案 D
解析 ∵y＝＝1＋，
∴y′＝－.∴y′|x＝3＝－.
∴－a＝2，即a＝－2.
4．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( )
A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)
C．(2,8) D．
答案 B
解析 y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1，
则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．
5．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．
答案 4
解析 依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，
f′(1)＝g′(1)＋2＝4.
6．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.
答案 1
解析 由于f′(0)是一常数，所以f′(x)＝x2＋3f′(0)，
令x＝0，则f′(0)＝0，
∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.
7．求下列函数的导数：
(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；
(2)y＝x－sin cos .
解 (1)法一 y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.
法二 ∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，
∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.
(2)∵y＝x－sin cos ＝x－sin x，
∴y′＝x′－′＝1－cos x.
二、能力提升
8．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为( )
A．－ B．
C．－ D．
答案 B
解析 y′＝＝，故y′|＝，
∴曲线在点M处的切线的斜率为.
9．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A．[0，) B．[，)
C．(，] D．[，π)
答案 D
解析 y′＝－＝－，设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′＝－＝－，∵t＋≥2，∴y′∈[－1,0)，α∈[，π)．
10．(2013·江西)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
答案 2
解析 令t＝ex，则x＝ln t，所以函数为f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，所以f′(x)＝＋1，即f′(1)＝＋1＝2.
11．求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程．
解 点(2,0)不在曲线y＝x3上，可令切点坐标为(x0，x)．由题意，所求直线方程的斜率k＝＝y′|x＝x0＝3x，即＝3x，解得x0＝0或x0＝3.
当x0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k＝0，则所求直线方程是y＝0；
当x0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k＝27，
则所求直线方程是y－27＝27(x－3)，
即27x－y－54＝0.
综上，所求的直线方程为y＝0或27x－y－54＝0.
12．已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．
解 设切点为(x0，y0)，
则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－3，
∴切线方程为y＝(3x－3)x＋16，
又切点(x0，y0)在切线上，
∴y0＝3(x－1)x0＋16，
即x－3x0＝3(x－1)x0＋16，
解得x0＝－2，
∴切线方程为9x－y＋16＝0.
三、探究与创新
13．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
(1)解 由7x－4y－12＝0得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝， ①
又f′(x)＝a＋，
∴f′(2)＝， ②
由①，②得
解之得.
故f(x)＝x－.
(2)证明 设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知
曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
1．2 导数的计算
1．2.1 几个常用函数的导数
1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
[学习目标]
1．能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．
2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
[知识链接]
在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？
答 (1)计算，并化简；
(2)观察当Δx趋近于0时，趋近于哪个定值；
(3)趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．
[预习导引]
1．几个常用函数的导数
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝
f′(x)＝－
f(x)＝
f′(x)＝
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a(a>0，且a≠1)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝(a>0，且a≠1)
f(x)＝ln x
f′(x)＝
要点一 利用导数定义求函数的导数
例1 用导数的定义求函数f(x)＝2 013x2的导数．
解 f′(x)＝
＝
＝
＝ (4 026x＋2 013Δx)
＝4 026x.
规律方法 解答此类问题，应注意以下几条：
(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤．
(2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N*)等也趋于0.
(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用．
跟踪演练1 用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．
解 y′＝
＝
＝
＝ (2x＋a＋Δx)＝2x＋a.
要点二 利用导数公式求函数的导数
例2 求下列函数的导数
(1)y＝sin ；(2)y＝5x；(3)y＝；(4)y＝；(5)y＝log3x.
解 (1)y′＝0；
(2)y′＝(5x)′＝5xln 5；
(3)y′＝(x－3)′＝－3x－4；
(4)y′＝′＝′＝x－＝；
(5)y′＝(log3x)′＝.
规律方法 求简单函数的导函数的基本方法：
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．
跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y＝x8；(2)y＝x；(3)y＝x；(4)y＝logx.
解 (1)y′＝8x7；
(2)y′＝xln ＝－xln 2；
(3)∵y＝x＝x，∴y′＝x；
(4) y′＝＝－.
要点三 利用导数公式求曲线的切线方程
例3 求过曲线y＝sin x上点P且与过这点的切线垂直的直线方程．
解 ∵y＝sin x，∴y′＝cos x，
曲线在点P处的切线斜率是：
y′|x＝＝cos＝.
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－，
故所求的直线方程为y－＝－，
即2x＋y－－＝0.
规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．
跟踪演练3 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解 ∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，
则y′|x＝x0＝2x0，
又∵PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，
∴k＝2x0＝1，即x0＝，所以切点为M.
∴所求的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
1．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝( )
A．0 B．2x
C．6 D．9
答案 C
解析 ∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.
2．函数f(x)＝，则f′(3)等于( )
A. B．0
C． D．
答案 A
解析 ∵f′(x)＝()′＝，∴f′(3)＝＝.
3．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A.∪ B．[0，π)
C． D．∪
答案 A
解析 ∵(sin x)′＝cos x，∵kl＝cos x，∴－1≤kl≤1，
∴αl∈∪.
4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．
答案 e2
解析 ∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.
∴S△＝×1×＝e2.
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x，
所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.
一、基础达标
1．下列结论中正确的个数为( )
①y＝ln 2，则y′＝；②y＝，则y′|x＝3＝－；③y＝2x，则y′＝2xln 2；④y＝log2x，则y′＝.
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 D
解析 ①y＝ln 2为常数，所以y′＝0.①错．②③④正确．
2．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为( )
A. B．或
C． D．
答案 B
解析 y′＝′＝－＝－4，x＝±，故选B.
3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于( )
A．4 B．－4
C．5 D．－5
答案 A
解析 f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4.
4．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
答案 B
解析 ∵f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x＝1，得x0＝±，即在点和点处有斜率为1的切线．
5．曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是________．
答案 x＋y－6＝0
解析 ∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－1，
∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为：
y－3＝－(x－3)即x＋y－6＝0.
6．若曲线y＝x－在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.
答案 64
解析 ∵y＝x－，∴y′＝－x－，
∴曲线在点处的切线斜率k＝－a－，
∴切线方程为y－a－＝－a－(x－a)．
令x＝0得y＝a－；令y＝0得x＝3a.
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝·3a·a－＝a＝18，∴a＝64.
7．求下列函数的导数：
(1) y＝；(2)y＝；(3)y＝－2sin ；
(4)y＝log2x2－log2x.
解 (1)y′＝′＝′＝x－1＝x－＝.
(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－.
(3)∵y＝－2sin
＝2sin ＝2sin cos ＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，
∴y′＝(log2x)′＝.
二、能力提升
8．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为( )
A. B．－
C．－e D．e
答案 D
解析 y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则
∴ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.
9．曲线y＝ln x在x＝a处的切线倾斜角为，则a＝________.
答案 1
解析 y′＝，∴y′|x＝a＝＝1，∴a＝1.
10．点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为________．
答案
解析
根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1.
∵y′＝(ex)′＝ex，
∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为.
11．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值．
解 ∵f(x)＝cos x，g(x)＝x，
∴f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，g′(x)＝x′＝1，
由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，
即sin x≥1，但sin x∈[－1,1]，
∴sin x＝1，∴x＝2kπ＋，k∈Z.
12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解 根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点坐标为，
切点到直线x－y－2＝0的距离
d＝＝，
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
三、探究与创新
13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 014(x)．
解 f1(x)＝(sin x)′＝cos x，
f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，
f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，
f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，
f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，
f6(x)＝f2(x)，…，
fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4，
∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x．
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
[学习目标]
1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．
2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．
[知识链接]
前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？
答 利用导数的运算法则．
[预习导引]
1．导数运算法则
法则
语言叙述
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数
′＝(g(x)≠0)
两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方
2．复合函数的求导法则
复合函数
的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))
复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积
要点一 利用导数的运算法则求函数的导数
例1 求下列函数的导数：
(1) y＝x3－2x＋3；
(2)y＝(x2＋1)(x－1)；
(3)y＝3x－lg x.
解 (1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2.
(2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，
∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.
(3)函数y＝3x－lg x是函数f(x)＝3x与函数g(x)＝lg x的差．由导数公式表分别得出f′(x)＝3xln 3，g′(x)＝，利用函数差的求导法则可得
(3x－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln 3－.
规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．
跟踪演练1 求下列函数的导数：
(1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋xcos x；
(3)y＝ex·ln x；(4)y＝lg x－.
解 (1)y′＝－12x2；
(2)y′＝(3x2＋xcos x)′＝6x＋cos x－xsin x；
(3)y′＝＋ex·ln x；
(4)y′＝＋.
要点二 求复合函数的导数
例2 求下列函数的导数：
(1)y＝ln(x＋2)；
(2)y＝(1＋sin x)2；
解 (1)y＝ln u，u＝x＋2
∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(x＋2)′＝·1＝.
(2)y＝u2，u＝1＋sin x，
∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(1＋sin x)′
＝2u·cos x＝2cos x(1＋sin x)．
规律方法 应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：
(1)中间变量的选取应是基本函数结构．
(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．
(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．
(4)善于把一部分表达式作为一个整体．
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．
跟踪演练2 (1)y＝e2x＋1；
(2)y＝(－2)2.
解 (1)y＝eu，u＝2x＋1，
∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
(2)法一 ∵y＝(－2)2＝x－4＋4，
∴y′＝x′－(4)′＋4′
＝1－4×x－＝1－.
法二 令u＝－2，
则yx′＝yu′·ux′＝2(－2)·(－2)′＝
2(－2)＝1－.
要点三 导数的应用
例3 求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程．
解 设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为
k＝f′(x0)＝3x－2
故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0) ①
∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x－2x0 ②
又∵(1，－1)在切线上，
∴将②式和(1，－1)代入①式得
－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)．
解得x0＝1或x0＝－.
故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－(x－1)．
即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．
跟踪演练3 已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3 s时物体的瞬时速度．
解 ∵s(t)＝＋2t2＝－＋2t2＝－＋2t2，
∴s′(t)＝－＋2·＋4t，
∴s′(3)＝－＋＋12＝，
即物体在t＝3 s时的瞬时速度为 m/s.
1．下列结论不正确的是( )
A．若y＝3，则y′＝0
B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3
C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1
D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x
答案 D
解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D项，∵y＝sin x＋cos x，
∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x.
2．函数y＝的导数是( )
A. B．
C． D．
答案 C
解析 y′＝′＝
＝.
3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2
答案 A
解析 ∵y′＝＝，
∴k＝y′|x＝－1＝＝2，
∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
4．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
答案 ln 2－1
解析 设切点为(x0，y0)，
∵y′＝，∴＝，
∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝×2＋b，∴b＝ln 2－1.
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.
一、基础达标
1．设y＝－2exsin x，则y′等于( )
A．－2excos x B．－2exsin x
C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
答案 D
解析 y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)．
2．当函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝( )
A．a B．±a
C．－a D．a2
答案 B
解析 y′＝′＝＝，
由x－a2＝0得x0＝±a.
3．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )
A．2 B．
C．－ D．－2
答案 D
解析 ∵y＝＝1＋，
∴y′＝－.∴y′|x＝3＝－.
∴－a＝2，即a＝－2.
4．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( )
A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)
C．(2,8) D．
答案 B
解析 y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1，
则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．
5．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．
答案 4
解析 依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，
f′(1)＝g′(1)＋2＝4.
6．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.
答案 1
解析 由于f′(0)是一常数，所以f′(x)＝x2＋3f′(0)，
令x＝0，则f′(0)＝0，
∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.
7．求下列函数的导数：
(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；
(2)y＝x－sin cos .
解 (1)法一 y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.
法二 ∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，
∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.
(2)∵y＝x－sin cos ＝x－sin x，
∴y′＝x′－′＝1－cos x.
二、能力提升
8．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为( )
A．－ B．
C．－ D．
答案 B
解析 y′＝＝，故y′|＝，
∴曲线在点M处的切线的斜率为.
9．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A．[0，) B．[，)
C．(，] D．[，π)
答案 D
解析 y′＝－＝－，设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′＝－＝－，∵t＋≥2，∴y′∈[－1,0)，α∈[，π)．
10．(2013·江西)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.
答案 2
解析 令t＝ex，则x＝ln t，所以函数为f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，所以f′(x)＝＋1，即f′(1)＝＋1＝2.
11．求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程．
解 点(2,0)不在曲线y＝x3上，可令切点坐标为(x0，x)．由题意，所求直线方程的斜率k＝＝y′|x＝x0＝3x，即＝3x，解得x0＝0或x0＝3.
当x0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k＝0，则所求直线方程是y＝0；
当x0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k＝27，
则所求直线方程是y－27＝27(x－3)，
即27x－y－54＝0.
综上，所求的直线方程为y＝0或27x－y－54＝0.
12．已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．
解 设切点为(x0，y0)，
则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－3，
∴切线方程为y＝(3x－3)x＋16，
又切点(x0，y0)在切线上，
∴y0＝3(x－1)x0＋16，
即x－3x0＝3(x－1)x0＋16，
解得x0＝－2，
∴切线方程为9x－y＋16＝0.
三、探究与创新
13．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
(1)解 由7x－4y－12＝0得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝， ①
又f′(x)＝a＋，
∴f′(2)＝， ②
由①，②得
解之得.
故f(x)＝x－.
(2)证明 设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知
曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.