高中数学选修2-2课时训练 数学归纳法（二） Word版含答案

2.3　数学归纳法(二)
[学习目标]
1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．
2．掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．
[知识链接]
1．数学归纳法的两个步骤有何关系？
答案　使用数学归纳法时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是递推的基础，步骤(2)是递推的依据．
2．用数学归纳法证明的问题通常具备怎样的特点？
答案　与正整数n有关的命题
[预习导引]
1．归纳法
归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明．
2．数学归纳法
(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数有关的数学命题；
(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；
(3)注意点：在第二步递推归纳时，从n＝k到n＝k＋1必须用上归纳假设．
要点一　用数学归纳法证明不等式问题
例1　用数学归纳法证明：
＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)．
证明　(1)当n＝2时，左式＝＝，右式＝1－＝.
因为<，所以不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，
即＋＋＋…＋<1－，
则当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋<1－＋
＝1－＝1－<1－＝1－，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．
规律方法　用数学归纳法证明不等式时常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等式．
跟踪演练1　用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式…>成立．
证明　(1)当n＝2时，左＝1＋＝，右＝，左>右，
∴不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2且k∈N*)时，不等式成立，即
…>，
那么当n＝k＋1时，
…>
·＝＝>
＝＝，
∴n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．
要点二　用数学归纳法证明整除性问题
例2　用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除．
证明　①当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．
②假设n＝k(k∈N*)时，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9
＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，
由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，
而3k－1－1是偶数，所以18(3k－1－1)能被36整除，
所以f(k＋1)能被36整除．
由①②可知，对任意的n∈N*，f(n)能被36整除．
规律方法　应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将n＝k时的项从n＝k＋1时的项中“硬提出来”，构成n＝k的项，后面的式子相对变形，使之与n＝k＋1时的项相同，从而达到利用假设的目的．
跟踪演练2　用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除．
证明　(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．
(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，62k－1＋1能被7整除．
那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1
＝36(62k－1＋1)－35.
∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，
∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．
由(1)，(2)知命题成立．
要点三　用数学归纳法证明几何问题
例3　用数学归纳法证明凸n边形的对角线有n(n－3)条．
证明　①当n＝3时，n(n－3)＝0，这就说明三角形没有对角线，故结论正确．
②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时结论正确，
即凸k边形的对角线有k(k－3)条，
当n＝k＋1时，凸(k＋1)边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为Ak＋1，增加的对角线是顶点Ak＋1与不相邻顶点的连线再加上原k边形一边A1Ak，共增加了对角线的条数为k－2＋1＝k－1.
∴f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1
＝(k2－k－2)
＝(k＋1)(k－2)
＝(k＋1)[(k＋1)－3]
故当n＝k＋1时命题成立．
由(1)(2)知，对任意n≥3，n∈N*，命题成立．
规律方法　用数学归纳法证明几何问题，关键在于分析由n＝k到n＝k＋1的变化情况，即分点(或顶点)增加了多少，直线的条数(或划分区域)增加了几部分等，或先用f(k＋1)－f(k)得出结果，再结合图形给予严谨的说明，几何问题的证明：一要注意数形结合；二要注意要有必要的文字说明．
跟踪演练3　平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f(n)＝.
证明　(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝×2×(2－1)＝1，
∴当n＝2时，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)＝k(k－1)，
那么，当n＝k＋1时，
任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为
f(k)＝k(k－1)，
l与其他k条直线交点个数为k，
从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，
即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k
＝k(k－1＋2)＝k(k＋1)
＝(k＋1)[(k＋1)－1]，
∴当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)，(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)命题都成立．
要点四　归纳—猜想—证明
例4　在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．
(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；
(2)证明：＋＋…＋＜.
(1)解　由条件得2bn＝an＋an＋1，
a＝bnbn＋1.
由此可以得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.
猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.
用数学归纳法证明：
①当n＝1时，由上可得结论成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立．
即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，
那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)
＝(k＋1)(k＋2)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]，
bk＋1＝＝(k＋2)2＝[(k＋1)＋1]2，
所以当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②，可知an＝n(n＋1)，
bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．
(2)证明　＝＜.
n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.
故＋＋…＋
＜＋
＝＋
＝＋＜＋＝.
综上，原不等式成立．
规律方法　探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手，归纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行证明，而证明往往用到数学归纳法．这类题型是高考的热点之一，它对培养创造性思维具有很好的训练作用．
跟踪演练4　已知数列，，，…，，…，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．
解　S1＝＝；S2＝＋＝；
S3＝＋＝；S4＝＋＝.
可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.于是可以猜想Sn＝(n∈N*)．
下面我们用数学归纳法证明这个猜想．
(1)当n＝1时，左边＝S1＝，右边＝＝＝，
猜想成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即
＋＋＋…＋＝，那么，
＋＋＋…＋
＋＝＋
＝＝＝，
所以，当n＝k＋1时猜想也成立．
根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N*都成立．
1．某个命题与正整数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得(　　)
A．n＝6时该命题不成立
B．n＝6时该命题成立
C．n＝4时该命题不成立
D．n＝4时该命题成立
答案　C
解析　∵n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题成立．∴若n＝5时，该命题不成立，则n＝4时该命题不成立．
2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第一步验证n＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成(　　)
A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时命题正确，再推证n＝2k＋3时命题正确
B．假设n＝2k－1(k∈N*)时命题正确，再推证n＝2k＋1时命题正确
C．假设n＝k(k∈N*)时命题正确，再推证n＝k＋2时命题正确
D．假设n≤k(k∈N*)时命题正确，再推证n＝k＋2时命题正确
答案　B
解析　因n为正奇数，所以否定C、D项；当k＝1时，2k－1＝1,2k＋1＝3，故选B.
3．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)第一步应验证________．
答案　n＝3时是否成立
解析　n的最小值为3，所以第一步验证n＝3时是否成立．
4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是________．
答案　(2k＋2)＋(2k＋3)
解析　当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．
1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．
2．证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0.
3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子，一定要用到归纳假设．
一、基础达标
1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是(　　)
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
答案　D
解析　等式左边的数是从1加到n＋3.
当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.
2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)
A．2 B．3
C．5 D．6
答案　C
解析　当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.
3．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＞(n∈N*)成立，其初始值至少应取(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
答案　B
解析　左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.
4．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是(　　)
A．增加了一项
B．增加了两项和
C．增加了B中的两项，但又减少了一项
D．增加了A中的一项，但又减少了一项
答案　C
解析　当n＝k时，不等式左边为＋＋…＋，当n＝k＋1时，不等式左边为＋＋…＋＋＋，故选C.
5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开________．
答案　(k＋3)3
解析　假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________．
答案　Sn＝
解析　S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝.
7．已知正数数列{an}(n∈N*)中，前n项和为Sn，且2Sn＝an＋，用数学归纳法证明：an＝－.
证明　(1)当n＝1时．a1＝S1＝，
∴a＝1(an>0)，∴a1＝1，又－＝1，
∴n＝1时，结论成立．
(2)假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝－.
当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝－
＝－
＝－.
∴a＋2ak＋1－1＝0，
解得ak＋1＝－(an>0)，
∴n＝k＋1时，结论成立．
由(1)(2)可知，对n∈N*都有an＝－.
二、能力提升
8．k(k≥3，k∈N*)棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(　　)
A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1
C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2
答案　A
解析　三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面[0＋2＝0＋(3－1)]；五棱柱有5个对角面[2＋3＝2＋(4－1)]；六棱柱有9个对角面[5＋4＝5＋(5－1)]；….猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1个对角面．
9．对于不等式≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．
②假设n＝k(n∈N*)时，不等式成立，即≤k＋1，则n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法(　　)
A．过程全部正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
答案　D
解析　从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．
10．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
答案　＋＋…＋＋＋>－
解析　观察不等式中的分母变化知，＋＋…＋＋＋>－.
11．求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．
证明　(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即＋＋…＋>.
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋
＋＞＋
＞＋
＝，
所以当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．
12．已知数列{an}中，a1＝－，其前n项和Sn满足an＝Sn＋＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明．
解　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2.
∴Sn＝－(n≥2)．
则有：S1＝a1＝－，
S2＝－＝－，
S3＝－＝－，
S4＝－＝－，
由此猜想：Sn＝－(n∈N*)．
用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，S1＝－＝a1，猜想成立．
(2)假设n＝k(k∈N*)猜想成立，
即Sk＝－成立，
那么n＝k＋1时，Sk＋1＝－
＝－
＝－＝－.
即n＝k＋1时猜想成立．
由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想结论均成立．
三、探究与创新
13．已知递增等差数列{an}满足：a1＝1，且a1，a2，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若不等式··…·≤对任意n∈N*，试猜想出实数m的最小值，并证明．
解　(1)设数列{an}公差为d(d＞0)，
由题意可知a1·a4＝a，即1(1＋3d)＝(1＋d)2，
解得d＝1或d＝0(舍去)．
所以，an＝1＋(n－1)·1＝n.
(2)不等式等价于···…·≤，
当n＝1时，m≥；当n＝2时，m≥；
而＞，所以猜想，m的最小值为.
下面证不等式···…·≤对任意n∈N*恒成立．
下面用数学归纳法证明：
证明　①当n＝1时，≤＝，成立．
②假设当n＝k时，不等式···…·≤成立，
当n＝k＋1时，···…··≤·，
只要证·≤，
只要证≤，
只要证≤2k＋2，
只要证4k2＋8k＋3≤4k2＋8k＋4，只要证3≤4，显然成立．即n＝k＋1时，不等式成立．
由①②可知，对任意n∈N*，不等式···…·≤恒成立．