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课时提升作业(二十)
对数函数的图象及性质
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.给出下列函数:
(1)y=log2(x-1). (2)y=logx2x.
(3)y=log(e+1)x. (4)y=4log33x.
(5)y=log(3+π)x. (6)y=lg5x.
(7)y=lgx+1.
其中是对数函数的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.由对数函数的概念可知(1)(2)(4)(6)(7)都不符合对数函数形式的特点,只有(3)(5)符合.
2.已知对数函数f(x)过点(2,4),则f()的值为 ( )
A.-1 B.1 C. D.
【解析】选B.设f(x)=logax,
由f(x)过点(2,4),则loga2=4,
即a4=2,解得a=,
所以f(x)=lox,
所以f()=lo=1.
【延伸探究】若某对数函数的图象过点(4,2),则此时该对数函数的解析式为 .
【解析】由对数函数的概念可设该函数的解析式为y=logax,则loga4=2,解得a=2.故所求解析式为y=log2x.
答案:y=log2x
3.函数f(x)=loga(x+2)+1(a>0,且a≠1)的图象必经过点 ( )
A.(1,-1) B.(1,0)
C.(-1,1) D.(0,1)
【解析】选C.当x+2=1时,f(x)=loga(x+2)+1=loga1+1=1,即x=-1时,f(-1)=1,故函数恒过定点(-1,1).
4.(2015·大庆高一检测)函数y=的定义域是 ( )
A.(-∞,1] B.(0,1]
C.[-1,0) D.(-1,0]
【解析】选B.要使函数有意义,必须lo(2x-1)≥0,则0<2x-1≤1,即1<2x≤2,解得0
5.(2015·阜阳高一检测)如图所示,曲线是对数函数f(x)=logax的图象,已知a取,,,,则对应于C1,C2,C3,C4的a值依次为 ( )
A.,,, B.,,,
C.,,, D.,,,
【解题指南】首先按照底数大于1和底数大于0小于1分类,然后再比较与y轴的远近程度.
【解析】选A.先排C1,C2底的顺序,底都大于1,
当x>1时图低的底大,C1,C2对应的a分别为,.然后考虑C3,C4底的顺序,底都小于1,
当x<1时底大的图高,C3,C4对应的a分别为,.
综合以上分析,可得C1,C2,C3,C4的a值依次为,,,.故选A.
【一题多解】选A.作直线y=1与四条曲线交于四点,如图:
由y=logax=1,得x=a(即交点的横坐标等于底数),所以横坐标小的底数小,
所以C1,C2,C3,C4对应的a值分别为,,,,故选A.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2015·合肥高一检测)若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)= .
【解析】由题意知f(x)=logax,又f(2)=1,所以loga2=1,所以a=2,f(x)=log2x.
答案:log2x
7.(2015·滁州高一检测)若对数函数f(x)=logax+(a2-4a-5),则a= .
【解析】由对数函数的定义可知,解得a=5.
答案:5
【误区警示】本题易忽略底数a>0,且a≠1,解得a=-1或a=5.
【补偿训练】函数y=(a2-4a+4)logax是对数函数,则a= .
【解析】由对数函数的定义可知解得a=3.
答案:3
8.已知集合A={x|y=log2(x-1)},B={y|y=2x+1,x∈A},则A∩B= .
【解析】由题知x-1>0,解得x>1,
所以y=2x+1>2+1=3,所以A∩B=(3,+∞).
答案:(3,+∞)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数y=loga(x+3)-(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上,求b的值.
【解析】当x+3=1,即x=-2时,对任意的a>0,且a≠1都有y=loga1-=0-=-,所以函数y=loga(x+3)-的图象恒过定点A,
若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上,
则-=3-2+b,所以b=-1.
10.已知函数f(x)=log2.
(1)求证:f(x1)+f(x2)=f.
(2)若f=1,f(-b)=,求f(a)的值.
【解题指南】(1)利用对数的运算法则分别化简左边和右边即可证明.
(2)利用(1)的结论即可得出.
【解析】(1)左边=f(x1)+f(x2)=log2+
log2=log2
=log2.
右边=log2=log2.
所以左边=右边.
(2)因为f(-b)=log2=-log2=,
所以f(b)=-,
利用(1)可知:f(a)+f(b)=f,
所以-+f(a)=1,解得f(a)=.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.函数f(x)=的定义域是 ( )
A.(-1,+∞) B.[-1,+∞)
C.(-1,1)∪(1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞)
【解题指南】本题函数的定义域有两方面的要求:分母不为零,真数大于零,据此列不等式组即可获解.
【解析】选C.解不等式组可得x>-1,且x≠1,故定义域为(-1,1)∪(1,+∞).
2.已知a>0且a≠1,则函数y=logax和y=(1-a)x在同一直角坐标系中的图象可能是下列图象中的 ( )
A.(1)(2) B.(2)(3)
C.(3)(4) D.(1)(2)(3)
【解析】选B.当0
当a>1时,1-a<0,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数.函数y=(1-a)x在R上是减函数.图(2)符合此要求.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·烟台高一检测)若函数y=loga+3的图象恒过定点P,则P点坐标为 .
【解析】因为y=logat的图象恒过(1,0),
所以令=1,得x=-2,此时y=3,
所以该函数过定点(-2,3).
答案:(-2,3)
【延伸探究】若将函数改为“y=loga+3”,又如何求定点P的坐标?
【解析】因为y=logat的图象恒过(1,0),
所以令=1,得x=2,此时y=3,
所以该函数过定点(2,3).
4.函数f(x)=log2(1+4x)-x,若f(a)=b,则f(-a)= .
【解析】因为f(a)=log2(1+4a)-a=b,
所以log2(1+4a)=a+b,
所以f(-a)=log2(1+4-a)+a
=log2+a=log2(1+4a)-log222a+a=a+b-2a+a=b.
答案:b
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.若函数y=loga(x+a)(a>0且a≠1)的图象过点(-1,0).
(1)求a的值.
(2)求函数的定义域.
【解题指南】(1)将(-1,0)代入y=loga(x+a)中,直接求出a的值.
(2)确定出函数的解析式,根据真数大于0,求出x的取值范围.
【解析】(1)将(-1,0)代入y=loga(x+a)(a>0,a≠1)中,有0=loga(-1+a),则-1+a=1,所以a=2.
(2)由(1)知y=log2(x+2),x+2>0,解得x>-2,
所以函数的定义域为{x|x>-2}.
6.已知f(x)=|log3x|.
(1)画出函数f(x)的图象.
(2)讨论关于x的方程|log3x|=a(a∈R)的解的个数.
【解题指南】(1)根据对数函数的图象和性质,画出函数f(x)的图象.
(2)设函数y=|log3x|和y=a,根据图象之间的关系判断方程解的个数.
【解析】(1)函数f(x)=对应的函数f(x)的图象为:
(2)设函数y=|log3x|和y=a.
当a<0时,两图象无交点,原方程解的个数为0个.
当a=0时,两图象只有1个交点,原方程只有1解.
当a>0时,两图象有2个交点,原方程有2解.
【补偿训练】已知f(x)=x+lg.
(1)求定义域.
(2)求f(x)+f(2-x)的值.
(3)猜想f(x)的图象具有怎样的对称性,并证明.
【解析】(1)由题意得,>0,解得0
(2)因为f(x)=x+lg,
所以f(x)+f(2-x)=x+lg+2-x+lg=2+lg·=2.
(3)关于点P(1,1)对称.
证明:设Q(x,y)为函数图象上的任一点,
若Q点关于点P的对称点为Q1(x1,y1),
则即
所以f(x1)=x1+lg=2-x+lg=2-x-lg=2-y=y1,
函数y=f(x)的图象关于点P(1,1)对称.
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