高中数学选修4-1学业分层测评6 圆周角定理 Word版含解析

学业分层测评(六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图2­1­12所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有(　　)
图2­1­12
A．1对　　　　　　 B．2对
C．3对 D．4对
【解析】　由推论知：∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC.
【答案】　B
2．如图2­1­13所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD＝4，BD＝8，则圆O的半径等于(　　)
图2­1­13
A．6 B．8
C．4 D．5
【解析】　∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.
又∵CD⊥AB，
由射影定理可知，CD2＝AD·BD，
∴42＝8AD，∴AD＝2，
∴AB＝BD＋AD＝8＋2＝10，
∴圆O的半径为5.
【答案】　D
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则此三角形外接圆半径为(　　) 【导学号：07370031】
A. B．2
C．2 D．4
【解析】　由推论2知AB为Rt△ABC的外接圆的直径，又AB＝＝4，故外接圆半径r＝AB＝2.
【答案】　B
4．如图2­1­14所示，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠A＝40°，D是的中点，E是的中点，分别连接BD，DE，BE，则△BDE的三内角的度数分别是(　　)
图2­1­14
A．50°，30°，100° B．55°，20°，105°
C．60°，10°，110° D．40°，20°，120°
【解析】　如图所示，连接AD.
∵AB＝AC，D是的中点，
∴AD过圆心O.
∵∠A＝40°，
∴∠BED＝∠BAD＝20°，
∠CBD＝∠CAD＝20°.
∵E是的中点，
∴∠CBE＝∠CBA＝35°，
∴∠EBD＝∠CBE＋∠CBD＝55°，
∴∠BDE＝180°－20°－55°＝105°，
故选B.
【答案】　B
5．如图2­1­15，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于(　　)
图2­1­15
A．4π B．8π
C．12π D．16π
【解析】　连接OA，OB.
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°.
又∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形．
又AB＝4，∴OA＝OB＝4，
∴S⊙O＝π·42＝16π.
【答案】　D
二、填空题
6．如图2­1­16，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则＝________.
图2­1­16
【解析】　连接CD，∵AC是⊙O的直径，
∴∠CDA＝90°.由射影定理得BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB，
∴＝，即＝.
【答案】　
7．(2016·天津高考)如图2­1­17，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE＝2AE＝2，BD＝ED，则线段CE的长为________．
图2­1­17
【解析】　如图，设圆心为O，连接OD，则OB＝OD.
因为AB是圆的直径，BE＝2AE＝2，所以AE＝1，OB＝.
又BD＝ED，∠B为△BOD与△BDE的公共底角，
所以△BOD∽△BDE，所以＝，
所以BD2＝BO·BE＝3，所以BD＝DE＝.
因为AE·BE＝CE·DE，所以CE＝＝.
【答案】　
8.如图2­1­18，AB为⊙O的直径，弦AC，BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APD＝__________.
图2­1­18
【解析】　由于AB为⊙O的直径，则∠ADP＝90°，
所以△APD是直角三角形，
则sin∠APD＝，cos∠APD＝，
由题意知，∠DCP＝∠ABP，∠CDP＝∠BAP，
所以△PCD∽△PBA.
所以＝，又AB＝3，CD＝1，则＝.
∴cos∠APD＝.又∵sin2∠APD＋cos2∠APD＝1，
∴sin∠APD＝.
【答案】　
三、解答题
9．如图2­1­19所示，⊙O中和的中点分别为点E和点F，直线EF交AC于点P，交AB于点Q.求证：△APQ为等腰三角形．
图2­1­19
【证明】　连接AF，AE.
∵E是的中点，即＝，
∴∠AFP＝∠EAQ，
同理∠FAP＝∠AEQ.
又∵∠AQP＝∠EAQ＋∠AEQ，∠APQ＝∠AFP＋∠FAP，
∴∠AQP＝∠APQ，即△APQ为等腰三角形．
10．如图2­1­20(1)所示，在圆内接△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，E是直线AD和△ABC外接圆的交点．
图2­1­20
(1)求证：AB2＝AD·AE；
(2)如图2­1­20(2)所示，当D为BC延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【解】　(1)证明：如图(3)，
连接BE.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ACB＝∠AEB，
∴∠ABC＝∠AEB.
又∠BAD＝∠EAB，
∴△ABD∽△AEB，
∴AB∶AE＝AD∶AB，
即AB2＝AD·AE.
(2)如图(4)，连接BE，
结论仍然成立，证法同(1)．
[能力提升]
1．如图2­1­21，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，那么等于(　　) 【导学号：07370032】
图2­1­21
A．sin∠BPD
B．cos∠BPD
C．tan∠BPD
D．以上答案都不对
【解析】　连接BD，由BA是直径，
知△ADB是直角三角形．
由∠DCB＝∠DAB，
∠CDA＝∠CBA，∠CPD＝∠BPA，得△CPD∽△APB，
＝＝cos ∠BPD.
【答案】　B
2．如图2­1­22所示，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC＝6，弦AE交BC于D，若AD＝4，则AE＝__________.
图2­1­22
【解析】　连接CE，则∠AEC＝∠ABC，
又△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠AEC＝∠ACB，
∴△ADC∽△ACE，
∴＝，
∴AE＝＝9.
【答案】　9
3．如图2­1­23，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，则△ABC的周长是__________．
图2­1­23
【解析】　由圆周角定理，
得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°，
∴AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形．
∴周长等于9.
【答案】　9
4.如图2­1­24，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE，AD交于点P.求证：
图2­1­24
(1)D是BC的中点；
(2)△BEC∽△ADC；
(3)AB·CE＝2DP·AD.
【证明】　(1)因为AB是⊙O的直径，
所以∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
因为AB＝AC，所以D是BC的中点．
(2)因为AB是⊙O的直径，
所以∠AEB＝∠ADB＝90°，
即∠CEB＝∠CDA＝90°，
因为∠C是公共角，
所以△BEC∽△ADC.
(3)因为△BEC∽△ADC，
所以∠CBE＝∠CAD.
因为AB＝AC，BD＝CD，
所以∠BAD＝∠CAD，
所以∠BAD＝∠CBE，
因为∠ADB＝∠BEC＝90°，
所以△ABD∽△BCE，
所以＝，所以＝，
因为∠BDP＝∠BEC＝90°，∠PBD＝∠CBE，
所以△BPD∽△BCE，
所以＝.
因为BC＝2BD，所以＝，
所以AB·CE＝2DP·AD.