第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式
1.1.1 不等式的基本性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．若m＝2x2＋2x＋1，n＝(x＋1)2，则m，n的大小关系为( )
A．m＞n B．m≥n
C．m＜n D．m≤n
解析：因为m－n＝ (2x2＋2x＋1)－(x＋1)2＝2x2＋2x＋1－x2－2x－1＝x2≥0.
所以m≥n.
答案：B
2．若a＜b＜0，则下列不等式关系中不能成立的是( )
A.＞ B.＞
C．|a|＞|b| D．a2＞b2
解析：取a＝－2，b＝－1，则＝－1＜－＝.
所以B不成立．
答案：B
3．设a， b∈R，若a＋|b|＜0，则下列不等式中正确的是( )
A．a－b＞0 B．a3＋b3＞0
C．a2－b2＜0 D．a＋b＜0
解析：当b≥0时，a＋b＜0，当b＜0时，a－b＜0，所以a＋b＜0，
故选D.
答案：D
4．(2015·浙江卷)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a＝－2，b＝3时，a＋b＞0，但ab＜0；
当a＝－1，b＝－2时，ab＞0，但a＋b＜0.
所以“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分又不必要条件．
答案：D
5．已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( )
A.＞ B．ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)
C．sin x＞sin y D．x3＞y3
解析：由ax＜ay(0＜a＜1)，可得x＞y.
又因为函数f(x)＝x3在R上递增，
所以f(x)＞f(y)，即x3＞y3.
答案：D
二、填空题
6．已知0＜a＜1，则a，，a2的大小关系是________．
解析：因为a－＝＜0，
所以a＜.
又因为a－a2＝a(1－a)＞0，
所以a＞a2，所以a2＜a＜.
答案：a2＜a＜
7．若8＜x＜10，2＜y＜4，则的取值范围是________．
解析：因为2＜y＜4，
所以＜＜.
又8＜x＜10，所以2＜＜5.
答案：(2，5)
8．设a＞0，b＞0，则＋与a＋b的大小关系是________．
解析：＋－(a＋b)＝－(a＋b)＝.
因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，ab＞0，(a－b)2≥0.
所以＋≥a＋b.
答案：＋≥a＋b
三、解答题
9．判断下列各命题的真假，并阐明理由．
(1)若a＜b，c＜0，则＜；
(2)若ac－3＞bc－3，则a＞b；
(3)若a＞b，且k∈N*，则ak＞bk；
(4)若a＞b，b＞c，则a－b＞b－c.
解：(1)因为a＜b，没有指出ab＞0，故＞不一定成立，
因此不一定推出＜.
所以是假命题．
(2)当c＜0时，c－3＜0，有a＜b.所以是假命题．
(3)当a＝1，b＝－2，k＝2时，显然命题不成立．所以是假命题．
(4)取a＝2，b＝0，c＝－3满足a＞b，b＞c的条件，但是a－b＝2＜b－c＝3.所以是假命题．
10．已知a＞b＞0，比较与的大小．
解：－＝＝.
因为a＞b＞0，
所以a－b＞0，b(b＋1)＞0.
所以＞0.
所以＞.
B级 能力提升
1．若0＜x＜y＜1，则( )
A．3y＜3x B．logx3＜logy3
C．log4x＜log4y D.＜
解析：因为函数y＝log4x是增函数，0＜x＜y＜1，
所以log4x＜log4y.
答案：C
2．实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d＞c；②a＋b＝c＋d；③a＋d＜b＋c.试将a，b，c，d按照从小到大的顺序排列为__________．
解析：
⇒⇒
又由d＞c，得a＜c＜d＜b.
答案：a＜c＜d＜b
3．已知＞，bc＞ad，求证：ab＞0.
证明：⇒
又bc＞ad，则bc－ad＞0.
由②得bc－ad＞0.
故ab＞0.