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[学业达标]
一、选择题
1．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是( )
A．0 B．1 C．2 D．4
【解析】 ＝≥＝4，当且仅当x＝y时等号成立．
【答案】 D
2．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是( )
A．3 B．3－2
C．3－2 D．－1
【解析】 y＝3－3x－＝3－≤3－2＝3－2，
当且仅当3x＝，即x＝时取等号．
【答案】 C
3．下列函数中，最小值为4的函数是( )
A．y＝x＋ B．y＝sin x＋
C．y＝ex＋4e－x D．y＝log3x＋logx81
【解析】 A、D不能保证是两正数之和，sin x取不到2，只有C项满足两项均为正，当且仅当x＝ln 2时等号成立．
【答案】 C
4．已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是( )
A．m>n B．m
【解析】 ∵a>2，∴a－2>0.
又∵m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4(当且仅当a－2＝，即a＝3时，“＝”成立)．
即m∈[4，＋∞)，由b≠0得b2≠0，
∴2－b2<2，∴22－b2<4，即n<4.
∴n∈(0,4)，综上易知m>n.
【答案】 A
5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4 C. D.
【解析】 ∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝>0.
∴0
【答案】 B
二、填空题
6．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．
【解析】 设水池的造价为y元，长方体底的一边长为x m，由于底面积为4 m2，所以另一边长为 m．那么
y＝120·4＋2·80·
＝480＋320≥480＋320·2＝1 760(元)．
当x＝2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．
【答案】 1 760
7．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
【解析】 因为x>0，所以x＋≥2.
当且仅当x＝1时取等号，所以有
＝≤＝，
即的最大值为，
故a≥.
【答案】
8．设a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2＋1>a；
②≥4；
③(a＋b)≥4；
④a2＋9>6a.
其中恒成立的是________(填序号)．
【解析】 由于a2＋1－a＝2＋>0，故①恒成立；
由于a＋≥2，b＋≥2.
∴≥4，故②恒成立；
由于a＋b≥2，＋≥2，
故(a＋b)·≥4，故③恒成立；当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不能恒成立．
【答案】 ①②③
三、解答题
9．(1)已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值；
(2)已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋的最小值. 【导学号：05920079】
【解】 (1)∵x<3，∴x－3<0，
∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3
＝－＋3
≤－2＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号，
∴f(x)的最大值为－1.
(2)法一 ∵x，y∈R＋，
∴(x＋y)＝4＋≥4＋2.
当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号．
又x＋y＝4，∴＋≥1＋，
故＋的最小值为1＋.
法二 ∵x，y∈R＋，且x＋y＝4，
∴＋＝＋＝1＋≥1＋2＝1＋.
当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号．
∴＋的最小值为1＋.
10．某种汽车，购车费用是10万元，每年使用保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？
【解】 设使用x年平均费用最少．由条件知，汽车每年维修费用构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列．
因此，汽车使用x年总的维修费用为x万元．
设汽车的年平均费用为y万元，则有
y＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3.
当且仅当＝，即x＝10时，y取最小值．
即这种汽车使用10年时，年平均费用最少．
[能力提升]
1．(2015·湖南高考)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B．2 C．2 D．4
【解析】 由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，
当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.
【答案】 C
2．若lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，则xy的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解】 由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，
得
因为 x>0，y>0，所以 3xy＝x＋y＋1≥2＋1，
所以 3xy－2－1≥0，
即 3()2－2－1≥0，
所以(3＋1)(－1)≥0，
所以≥1，所以 xy≥1，
当且仅当 x＝y＝1 时，等号成立，
所以 xy 的最小值为1.
【答案】 A
3．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时＋－的最大值为________．
【解析】 ＝＝≤＝1
当且仅当x＝2y时等式成立，此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.
【答案】 1
4．已知函数f(x)＝lg x(x∈R＋)，若x1，x2∈R＋，判断[f(x1)＋f(x2)]与f的大小并加以证明．
【解】 [f(x1)＋f(x2)]≤f.
证明：f(x1)＋f(x2)
＝lg x1＋lg x2＝lg(x1·x2)，
f＝lg.
∵x1，x2∈R＋，∴≥ ，
∴lg≤lg，
即lg(x1·x2)≤lg，
∴(lg x1＋lg x2)≤lg.
故[f(x1)＋f(x2)]≤f.