模块检测卷(一)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．π B．4π C．8π D．9π
解析：选B 设P点的坐标为(x，y)，
∵|PA|＝2|PB|，
∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]．
即(x－2)2＋y2＝4.
故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π.
2．柱坐标对应的点的直角坐标是( )
A．(，－1,1) B．(，1,1) C．(1，，1) D．(－1，，1)
解析：选C 由直角坐标与柱坐标之间的变换公式可得
3．在极坐标系中，点A的极坐标是(1，π)，点P是曲线C：ρ＝2sin θ上的动点，则|PA|的最小值是( )
A．0 B. C.＋1 D.－1
解析：选D A的直角坐标为(－1,0)，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1，|AC|＝，则|PA|min＝－1.
4．直线(t为参数，θ是常数)的倾斜角是( )
A．105° B．75° C．15° D．165°
解析：选A 参数方程⇒
消去参数t得，y－cos θ＝－tan 75°(x－sin θ)，
∴k＝－tan 75°＝tan (180°－75°)＝tan 105°.
故直线的倾斜角是105°.
5．双曲线(θ为参数)的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
解析：选D 把参数方程化为普通方程得－x2＝1，渐近线方程为y＝±2x.
6．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是( )
A．圆、直线 B．直线、圆
C．圆、圆 D．直线、直线
解析：选A ∵ρ＝cos θ，∴x2＋y2＝x表示圆．
∵∴y＋3x＝－1表示直线．
7．已知点P的极坐标为(π，π)，则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为( )
A．ρ＝π B．ρ＝cos θ C．ρ＝ D．ρ＝
解析：选D
设M(ρ，θ)为所求直线上任意一点，
由图形知|OM|cos∠POM＝π，∴ρcos(π－θ)＝π.∴ρ＝.
8．直线l：y＋kx＋2＝0与曲线C：ρ＝2cos θ相交，则k满足的条件是( )
A．k≤－ B．k≥－
C．k∈R D．k∈R且k≠0
解析：选A 由题意可知直线l过定点(0，－2)，曲线C的普通方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.由图可知，直线l与圆相切时，有一个交点，此时＝1，得－k＝.若满足题意，只需－k≥.
即k≤－即可．
9．参数方程(θ为参数，0≤θ<2π)所表示的曲线是( )
A．椭圆的一部分
B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分，且过点
D．抛物线的一部分，且过点
解析：选D 由y＝cos2＝＝，可得sin θ＝2y－1，由x＝得x2－1＝sin θ，∴参数方程可化为普通方程x2＝2y，
又x＝∈[0，]．∴表示抛物线的一部分，且过点.
10．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )
A. B. C. D.
解析：选B 三条直线的直角坐标方程依次为y＝0，y＝x，x＋y＝1，如图所示，围成的图形为△OPQ，可得S△OPQ＝|OQ|·|yP|＝×1×＝.
11．设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l的距离为的点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B 曲线C的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，它表示以(2，－1)为圆心，3为半径的圆，其中圆心(2，－1)到直线x－3y＋2＝0的距离d＝＝且3－<，故过圆心且与l平行的直线与圆交于两点，满足题意的点即为该两点．
12．已知直线(t为参数)与圆x2＋y2＝8相交于B、C两点，O为原点，则△BOC的面积为( )
A．2 B. C. D.
解析：选C ⇒(t′为参数)．
代入x2＋y2＝8，得t′2－3t′－3＝0，
∴|BC|＝|t′1－t′2|＝＝＝，
弦心距d＝ ＝，S△BCO＝|BC|·d＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．将参数方程(t为参数)转化成普通方程为________．
解析：参数方程变为∴－＝4，∴－＝1.
答案：－＝1
14．在极坐标中，直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．
解析：直线ρsin＝2可化为x＋y－2＝0，圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式，得2＝2 ＝4.
答案：4
15．(广东高考)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．
解析：曲线C的普通方程为：x2＋y2＝ ( cos t)2＋( sin t)2＝2(cos2t＋sin2t)＝2，由圆的知识可知，圆心(0,0)与切点(1,1)的连线垂直于切线l，从而l的斜率为－1，由点斜式可得直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，可得l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0.
答案：ρsin＝
16．(重庆高考)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：ρcos θ＝4化为直角坐标方程为x＝4，①
化为普通方程为y2＝x3，②
①②联立得A(4,8)，B(4，－8)，
故|AB|＝16.
答案：16
三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，M是C1上的动点，P点满足OP―→＝2OM―→，P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程；
(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.
解：(1)设P(x，y)，则由条件知M.由于M点在C1上，所以
即从而C2的参数方程为(α为参数)
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C2的极坐标方程为ρ1＝8sin θ.
射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin ，射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin .所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2.
18．(江苏高考)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.
同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.
联立方程组解得公共点的坐标为(2,2)，.
19．(福建高考)(本小题满分12分)已知方程y2－6ysin θ－2x－9cos2θ＋8cos θ＋9＝0，(0≤θ＜2π)．
(1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线；
(2)θ为何值时，该抛物线在直线x＝14上截得的弦最长，并求出此弦长．
解：(1)证明：将方程y2－6ysin θ－2x－9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0可配方为(y－3sin θ)2＝2(x－4cos θ)
∴图象为抛物线．
设其顶点为(x，y)，则有
消去θ得顶点轨迹是椭圆＋＝1.
(2)联立
消去x，得y2－6ysin θ＋9sin 2θ＋8cos θ－28＝0.
弦长|AB|＝|y1－y2|＝4，
当cos θ＝－1，即θ＝π时，弦长最大为12.
20．(本小题满分12分)曲线的极坐标方程为ρ＝，过原点作互相垂直的两条直线分别交此曲线于A、B和C、D四点，当两条直线的倾斜角为何值时，|AB|＋|CD|有最小值？并求出这个最小值．
解：由题意，设A(ρ1，θ)，B(ρ2，π＋θ)，C，D.
则|AB|＋|CD|＝(ρ1＋ρ2)＋(ρ3＋ρ4)
＝＋＋＋＝.
∴当sin22θ＝1即θ＝或θ＝时，两条直线的倾斜角分别为，时，|AB|＋|CD|有最小值16.
21．(辽宁高考)(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos＝2.
(1)求C1与C2交点的极坐标；
(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)．求a，b的值．
解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，
直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
解得
所以C1与C2交点的极坐标为，.
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．
故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
由参数方程可得y＝x－＋1，所以解得a＝－1，b＝2.
22．(辽宁高考)(本小题满分12分)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得
由x＋y＝1得x2＋2＝1，
即曲线C的方程为x2＋＝1.
故C的参数方程为(t为参数)．
(2)由解得或
不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，于是所求直线方程为y－1＝，化为极坐标方程，并整理得
2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝.