二元一次不等式组与简单的线性规划问题
【知识网络】
1、二元一次不等式组以及可化成二元一次不等式组的不等式的解法；
2、作二元一次不等式组表示的平面区域，会求最值；
3、线性规划的实际问题和其中的整点问题。
【典型例题】
例1：（1）已知点P（x0，y0）和点A（1，2）在直线的异侧，则（ ）
A． B．0
C． D．
答案: D。解析：将（1，2）代入得小于0，则。
（2）满足的整点的点（x，y）的个数是 （ ）
A．5 B．8 C．12 D．13
答案：D。解析：作出图形找整点即可。
（3）不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0表示的平面区域是 （ ）
答案：C。解析：原不等式等价于
两不等式表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域．
（4）设实数x, y满足，则的最大值为 ．
答案: 。解析：过点时，有最大值。
（5）已知，求的取值范围 ．
答案： 。解析：过点时有最小值5，过点（3，1）时有最大值10。
例2：试求由不等式y≤2及|x|≤y≤|x|＋1所表示的平面区域的面积大小．
答案: 解：原不等式组可化为如下两个不等式组：
①或 ②
上述两个不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分．
它所围成的面积S＝×4×2－×2×1＝3．
例3：已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；
(Ⅱ)若h(x)＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围。
答案: (Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则
∵点在函数的图象上
∴
（Ⅱ）
①
②
ⅰ）
ⅱ）
例4：要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数量少？
答案:：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则
且x，y都是整数．
求目标函数z＝x＋y取得最小值时的x，y的值．
如图，当x＝3，y＝9或x＝4，y＝8时，z取得最小值．
∴需截第一种钢板3张，第二种钢板9张或第一种钢
板4张，第二种钢板8张时，可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少．
【课内练习】
1．双曲线的两条渐近线及过（3，0）且平行其渐近线的一条直线与x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是 （ ）
A、 B、 C、 D、
答案：A。解析：双曲线的两条渐近线方程为，过（3，0）且平行于的直线是和，∴围成的区域为A。
2．给出平面区域如下图所示，其中A（5，3），B（1，1），C（1，5），若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是（ ）
A． B． C．2 D．
答案:B。解析：，
即。
3．设集合是三角形的三边长，则所表示的平面区域
(不含边界的阴影部分)是 ( )
答案:A。解析：，故选A
4．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋
35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元．在满足需要的条件下，最少要花费 元．
答案: 500。解析：设需第一种原料x袋，第二种原料y袋，，令，∴过（1，3）时元。
5．已知，
求的最大值为 。
答案：21。解析：可行域如图，当时，，于是可知可行域内各点均在直线的上方，故，化简得并平行移动，当过C（7，9）时，。
6．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小
钢板的块数如下表所示：
类 型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
1
2
1
第二种钢板
1
1
3
每张钢板的面积,第一种为,第二种为,今需要A、B、C三种规格的成品各12、
15、27块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小？
答案：解：设需截第一种钢板张,第二种钢板张,所用钢板面积为,
则有
作出可行域(如图)
目标函数为
作出一组平行直线(t为参数).由得由于点不是可行域内的整数点,而在可行域内的整数点中,点(4,8)和点(6,7)使最小,且.
答:应截第一种钢板4张,第二种钢板8张,或第一种钢板6张,第二种钢板7张,得所需三种规格的钢板,且使所用的钢板的面积最小.
7．已知3≤x≤6，x≤y≤2x，求x＋y的最大值和最小值．
答案：原不等式组等价于
作出其围成的区域如图所示，
将直线x＋y＝0向右上方平行移动，
当其经过点（3，1）时取最小值，当其经过（6，12）时取最大值．
∴(x＋y) min＝3＋1＝4，
(x＋y)max＝6＋12＝18．
即x＋y的最大值和最小值分别是18和4．
8．一家饮料厂生产甲、乙两种果汁饮料，甲种饮料的主要配方是每3份李子汁加一份苹果汁，乙种饮料的配方是李子汁和苹果汁各一半．该厂每天能获得的原料是李子汁和苹果汁，又厂方的利润是生产甲种饮料得3元，生产乙种饮料得4元．那么厂方每天生产甲、乙两种饮料各多少，才能获利最大？
答案:（1）列表
李子汁
苹果汁
获得利润
分配方案
甲
3/4
1/4
3元
乙
1/2
1/2
4元
受限条件
2000L
1000L
（2）线性约束条件
（3）作出可行域：图略。
（4）构建目标函数，即
（5）求出满足条件的最大值：时，取到最大值10000
9．预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1．5倍，问桌、椅各买多少才行？
答案:：设桌、椅分别买x，y张，则
且x，y∈N*
由解得 ∴点A的坐标为（）．
由解得 ∴点B的坐标为（25，）．
所以，满足约束条件的可行域是图中的阴影部分．
由图形直观可知，目标函数z＝x＋y在可行域内的最优解为（25，），但x，y∈N*，故y取37． ∴买桌子25，椅子37是满足题设的最好选择．
【作业本】
A组
1．如图所示的平面区域（阴影部分），用不等式表示为 （ ）
A、 B、
C、 D、
答案:C。解析：用（0，0）代入验证。
2．设点，其中，满足的点的个数为 （ ）
A、10个 B、9个 C、3 个 D、无数个
答案:A。解析：x,y可取0，1，2，3且满足条件即可。
3．不等式组，表示的区域为D，点P1（0，-2），P2（0，0），则 （ ）
A． B． C． D．
答案：C。解析：代入检验。
4．设满足则使得目标函数的值最大的点是 ．
答案: 。解析：作出可行域即可发现。
5．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力
限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为
货物
体积（每箱）
重量（每箱）
利润（每箱）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制
24
13
答案：4 ，1。解析：设甲、乙各托运的箱数为x,y，则，∴，当过（4，1）时有最大值。
6．试求由不等式|x|＋|y|≤1所表示的平面区域的面积大小．
答案:原不等式等价于
其表示的平面区域如图中阴影部分．
∴S＝()2＝2．
7．已知，若函数
恒成立，求a+b的最大值。
答案：已知恒成立，则作出可行域
令，当经过A时，z有最大值，
由解得，∴。
8．某企业生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：
产品品种
劳动力（个）
煤（吨）
电（千瓦）
A产品
3
9
4
B产品
10
4
5
已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？
答案：设生产A、B两种产品各为x、y吨，利润为z万元，则
z＝7x＋12y
作出可行域，如图阴影所示．
当直线7x＋12y＝0向右上方平行移动时，经过M（20，24）时z取最大值．
∴该企业生产A、B两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．
B组
1．若x，y满足约束条件，则x＋2y的最大值为 （ ）
A．0 B． C．2 D．以上都不对
答案：C解析：约束条件所表示的可行域如图所示．
当直线x＋2y＝0平行移动到经过点（0，1）时，
x＋2y取到最大值0＋2×1＝2．
2．已知点与点在直线
的两侧，则的取值范围 （ ）
A、 B、 C、 D、
答案:B。解析：。
3．不等式组表示的平面区域的面积为 （ ）
A、 B、 C、 D、2
答案:B。解析：区域的顶点。
4． 的三个顶点坐标分别为，则内任意一点所满足的条件为 ．
答案: 。解析：分别计算三边的直线方程，然后结合图形可得。
5．已知点P（1，-2）及其关于原点的对称点均在不等式表示的平面区
域内，则b的取值范围是 ．
答案： 。解析：P（1，—2）关于原点的对称点为（—1，2），∴。
6．已知的三边长满足，，求的取值范围．
答案：解：设，，则，
作出平面区域（如右图），
由图知：，， ∴，即．
7. 已知x、y满足不等式,求z=3x+y的最大值与最小值。
答案:最大值3X4-1=-11最小值3X(-4)-1=-13
8．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180 t支援物资的任务，该公司有8辆载重为6 t的A型卡车和4辆载重为10 t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低．
答案:设每天调出A型车x辆，B型车y辆，公司所花的成本为z元
z＝320x＋504y（其中x，y∈Z）
作出上述不等式组所确定的平面区域如图阴影所示即可行域．
由图易知，当直线z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点（5，2）使z＝320x＋504y取得最小值，zmin＝320×5＋504×2＝2608．
∴每天调出A型车5辆，B型车2辆，公司所花成本最低．