1.2.1 任意角的三角函数
整体设计
教学分析
学生已经学过锐角三角函数,它是用直角三角形边长的比来刻画的.锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系.任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,它与“解三角形”已经没有什么关系了.因此,与学习其他基本初等函数一样,学习任意角的三角函数,关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质,并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律,解决简单的实际问题.
本节以锐角三角函数为引子,利用单位圆上点的坐标定义三角函数.由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系,使得我们在讨论三角函数的问题时,对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等,都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发.三角函数的研究中,数形结合思想起着非常重要的作用.
利用信息技术,可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系,并在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来.所以,信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质.激发学生对数学研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作,实现共同探究、教学相长的教学情境.
三维目标
1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,理解三角函数是以实数为自变量的函数,并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域,理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.
2.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等.
3.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来,即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.
4.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题.
重点难点
教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义,终边相同的角的同一三角函数值相等.
教学难点:用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数;三角函数符号;利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.我们把角的范围推广了,锐角三角函数的定义还能适用吗?譬如三角形内角和为180°,那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗?类比角的概念的推广,怎样修正三角函数定义?由此展开新课.另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义,然后再在适当时机联系锐角三角函数,这也是一种不错的选择.
思路2.教师先让学生看教科书上的“思考”,通过这个“思考”提出用直角坐标系中角的终边上点的坐标表示锐角三角函数的问题,以引导学生回忆锐角三角函数概念,体会引进象限角概念后,用角的终边上点的坐标比表示锐角三角函数的意义,从而为定义任意角的三角函数奠定基础.教科书在定义任意角的三角函数之前,作了如下铺垫:直角三角形为载体的锐角三角函数→象限角为载体的锐角三角函数→单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗?
问题②:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?
活动:教师提出问题,学生口头回答,突出它是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数,教师并对回答正确的学生进行表扬,对回答不出来的同学给予提示和鼓励.然后教师在黑板上画出直角三角形.
教师提示:前面我们对角的概念已经进行了扩充,并且学习了弧度制,知道了角的集合与实数集是一一对应的,在此基础上,我们来研究任意角的三角函数.教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系,画出角α的终边;学生给出相应点的坐标,并用坐标表示锐角三角函数.
图1
如图1,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离>0.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.
根据初中学过的三角函数定义,我们有
sinα==,cosα==,tanα==.
讨论结果:
①锐角三角函数是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数.
②sinα==,cosα==,tanα==.
提出问题
问题①:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么?
问题②:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化?
活动:教师先让学生们相互讨论,并让他们动手画画图形,看看从图形中是否能找出某种关系来.然后提问学生,由学生回答教师的问题,教师再引导学生选几个点,计算一下对应的比值,获得具体认识,并由相似三角形的性质来证明.最后可以发现,由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变.
过图形教师引导学生进行对比,学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化.
此时sinα==b,cosα==a,tanα==.
在引进弧度制时我们看到,在半径为单位长度的圆中,角α的弧度数的绝对值等于圆心角α所对的弧长(符号由角α的终边的旋转方向决定).在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.这样,上述P点就是α的终边与单位圆的交点.锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示.
同样地,我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.
图2
如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:
(1)y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y;
(2)x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x;
(3)叫做α的正切,记作tanα,即tanα=(x≠0).
所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.
教师出示定义后,可让学生解释一下定义中的对应关系.教师应指出任意角的正弦、余弦、正切的定义是本节教学的重点.用单位圆上点的坐标表示任意角的三角函数,与学生在锐角三角函数学习中建立的已有经验有一定的距离,与学生在数学必修一的学习中建立起来的经验也有一定的距离.学生熟悉的函数y=f(x)是实数到实数的一一对应,而这里给出的三角函数首先是实数(弧度数)到点的坐标的对应,然后才是实数(弧度数)到实数(横坐标或纵坐标)的对应,这就给学生的理解造成一定的困难.教师在教学中可以在学生对锐角三角函数已有的几何直观认识的基础上,先建立直角三角形的锐角与第一象限角的联系,在直角坐标系中考查锐角三角函数,得出用角的终边上点的坐标(比值)表示锐角三角函数的结论,然后再“特殊化”引出用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数的结论.在此基础上,再定义任意角的三角函数.
在导学过程中教师应点拨学生注意,尽管我们从锐角三角函数出发来引导学生学习任意角的三角函数,但任意角的三角函数与锐角三角函数之间并没有一般与特殊的关系.教师在教学中应当使学生体会到,用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数,不仅简单、方便,而且反映本质.
教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么,对应关系有什么特点,函数值是什么.特别注意α既表示一个角,又是一个实数(弧度数).“它的终边与单位圆交于点P(x,y)”包含两个对应关系.从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数.值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.(2)sinα不是sin与α的乘积,而是一个比值;三角函数的记号是一个整体,离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的.
讨论结果:①这三个比值与终边上的点的位置无关,根据初中学过的三角函数定义,有
sinα==,cosα==,
tanα==.
由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变.
②能.
提出问题
问题①:学习了任意角,并利用单位圆表示了任意角的三角函数,引入一个新的函数,我们可以对哪些问题进行讨论?
问题②:根据三角函数的定义,正弦、余弦、正切的定义域、值域是怎样的?
活动:教师引导学生结合在数学必修一中的有关函数的问题,让学生回顾所学知识,并总结回答老师的问题,教师对学生总结的东西进行提问,并对回答正确的学生进行表扬,回答不正确或者不全面的学生给予提示和补充.教师让学生完成教科书上的“探究”,教师提问或让学生上黑板板书.
按照这样的思路,我们一起来探究如下问题:请根据任意角的三角函数定义,先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表,再将这三种函数的值在各象限的符号填入图3中的括号内.
三角函数
定义域
sinα
cosα
tanα
图3
教师要注意引导学生从定义出发,利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域、函数值的符号等结论.对于正弦函数sinα=y,因为y恒有意义,即α取任意实数,y恒有意义,也就是说sinα恒有意义,所以正弦函数的定义域是R;类似地可写出余弦函数的定义域;对于正切函数tanα=,因为x=0时,无意义,即tanα无意义,又当且仅当角α的终边落在纵轴上时,才有x=0,所以当α的终边不在纵轴上时,恒有意义,即tanα恒有意义,所以正切函数的定义域是α≠ +kπ(k∈Z).(由学生填写下表)
三角函数
定义域
sinα
R
cosα
R
tanα
{α|α≠+kπ,k∈Z}
三角函数的定义告诉我们,各三角函数在各象限内的符号,取决于x,y的符号,当点P在第一、二象限时,纵坐标y>0,点P在第三、四象限时,纵坐标y<0,所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的,对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示);同样地,余弦函数在第一、四象限是正的,在第二、三象限是负的;正切函数在第一、三象限是正的,在第二、四象限是负的.从而完成上面探究问题.即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.
讨论结果:①定义域、值域、单调性等.
②y=sinα与y=cosα的定义域都是全体实数R,值域都是[-1,1].y=tanα的定义域是{α｜α≠ +kπ(k∈Z)},值域是R.
应用示例
思路1
例1 已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦、余弦和正切值.
活动:教师留给学生一定的时间,学生独立思考并回答.明确可以用角α终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数,但用单位圆上点的坐标来定义,既不失一般性,又简单,更容易看清对应关系.教师要点拨引导学生习惯画图,充分利用数形结合,但要提醒学生注意α角的任意性.如图4,设α是一个任意角,P(x,y)是α终边上任意一点,点P与原点的距离r=>0,那么:
图4
①叫做α的正弦,即sinα=;
②叫做α的余弦,即cosα=;
③叫做α的正切,即tanα=(x≠0).
这样定义三角函数,突出了点P的任意性,说明任意角α的三角函数值只与α有关,而与点P在角的终边上的位置无关,教师要让学生充分思考讨论后深刻理解这一点.
解:由已知,可得OP0==5.
图5
如图5,设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P、P0作x轴的垂线MP、M0P0,则|M0P 0|=4,|MP|=-y,|OM0|=3，|OM|=-x,△OMP∽△OM0P0,
于是sinα=y====;
cosα=x====;
tanα===.
点评:本例是已知角α终边上一点的坐标,求角α的三角函数值问题.可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上,再由定义得解.
变式训练
求的正弦、余弦和正切值.
图6
解:在平面直角坐标系中,作∠AOB=,如图6.
易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(,),
所以sin=,cos=,tan=.
例2 求证:当且仅当下列不等式组成立时,角θ为第三象限角.
活动:教师引导学生讨论验证在不同的象限内各个三角函数值的符号有什么样的关系,提示学生从三角函数的定义出发来探究其内在的关系.可以知道:三角函数的定义告诉我们,各三角函数在各象限内的符号,取决于x,y的符号,当点P在第一、二象限时,纵坐标y>0,点P在第三、四象限时,纵坐标y<0,所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的,对于第三、四象限角是负的;同样地,余弦函数在第一、四象限是正的,在第二、三象限是负的;正切函数在第一、三象限是正的,在第二、四象限是负的.
证明:我们证明如果①②式都成立,那么θ为第三象限角.
因为①sinθ<0成立,所以θ角的终边可能位于第三或第四象限,也可能位于y轴的非正半轴上;
又因为②式tanθ>0成立,所以θ角的终边可能位于第一或第三象限.
因为①②式都成立,所以θ角的终边只能位于第三象限.
于是角θ为第三象限角.
反过来请同学们自己证明.
点评:本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符号,其条件以一个不等式出现,在教学时要让学生把问题的条件、结论弄清楚,然后再给出证明.这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力.
变式训练
(2007北京高考)已知cosθ·tanθ<0,那么角θ是( )
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角
答案:C
例3 求下列三角函数值:
(1)sin390°;(2)cos;(3)tan(-330°).
活动:引导学生总结终边相同角的表示法有什么特点,终边相同的角相差2π的整数倍,那么这些角的同一三角函数值有何关系?为什么?
引导学生从角的终边的关系到角之间的关系再到函数值之间的关系进行讨论,然后再用三角函数的定义证明.
由三角函数的定义,可以知道:终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此得到一组公式(公式一):
sin(α+k·2π)=sinα,
cos(α+k·2π)=cosα,
tan(α+k·2π)=tanα,
其中k∈Z.
利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值.这个公式称为三角函数的“诱导公式一”.
解:(1)sin390°=sin(360°+30°)=sin30°=;
(2)cosπ=cos(2π+π)=cosπ=;
(3)tan(-330°)=tan(-360°+30°)=tan30°=.
点评:本题主要是对诱导公式一的考查,利用公式一将任意角都转化到0—2π范围内求三角函数的值.
思路2
例1 已知角α的终边在直线y=-3x上,则10sinα+3secα=.
活动:要让学生独立思考这一题目,本题虽然是个填空题,看似简单但内含分类讨论思想,可以找两个学生来板演这个例题.对解答思路正确的学生给以鼓励,对思路受阻的学生要引导其思路的正确性.并适时地点拨学生:假如是个大的计算题应该怎样组织步骤.
解:设角α终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),则
x=k,y=-3k,r==｜k｜.
(1)当k>0时,r=,α是第四象限角,
sinα===,secα===,
∴10sinα+3secα=10×+3=-3+3=0.
(2)当k<0时,r=,α为第二象限角,
sinα===,secα===,
∴10sinα+3secα=10×+3×()=3-3=0.
综合以上两种情况均有10sinα+3secα=0.
点评:本题的解题关键是要清楚当k>0时,P(k,-3k)是第四象限内的点,角α的终边在第四象限;当k<0时,P(k,-3k)是第二象限内的点,角α的终边在第二象限内,这与角α的终边在y=-3x上是一致的.
变式训练
设f(x)=sinx,求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)的值.
解:∵f(1)=sin=,f(2)=sin=,f(3)=sinπ=0,
f(4)=sin=,f(5)=sin=,f(6)=sin2π=0,
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0.
而f(7)=sin=sin,f(8)=sin=sin,…,f(12)=sin=sin2π,
∴f(7)+f(8)+f(9)+f(10)+f(11)+f(12)=0.
同理f(13)+f(14)+f(15)+f(16)+f(17)+f(18)=0,…,f(67)+f(68)+…+f(72)=0,
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)=0.
求函数y=+tanα的定义域.
活动:让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点,并让学生归纳出一些常见函数有意义的要求,根据函数有意义的特征来求自变量的范围.对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行.求含正切函数的组合型三角函数的定义域时,正切函数本身的定义域往往被忽略,教师提醒学生应引起注意这种情况.同时,函数的定义域是一个集合,所以结论要用集合形式表示.
解:要使函数y=+tanα有意义,则sinα≥0且α≠kπ+(k∈Z).
由正弦函数的定义知道,sinα≥0就是角α的终边与单位圆的交点的纵坐标非负.
∴角α的终边在第一、二象限或在x轴上或在y轴非负半轴上,即2kπ≤α≤π+2kπ(k∈Z).
∴函数的定义域是{α｜2kπ≤α<+2kπ或+2kπ<α≤(2k+1)π,k∈Z}.
点评:本题的关键是弄清楚要使函数式有意义,必须sinα≥0,且tanα有意义,由此推导出α的取值范围就是函数的定义域.
变式训练
求下列函数的定义域:
(1)y=sinx+cosx;(2)y=sinx+tanx;
(3)y=;(4)y=+tanx.
解:(1)∵使sinx,cosx有意义的x∈R,∴y=sinx+cosx的定义域为R.
(2)要使函数有意义,必须使sinx与tanx有意义.∴有
∴函数y=sinx+tanx的定义域为{x｜x≠kπ+,k∈Z}.
(3)要使函数有意义,必须使tanx有意义,且tanx≠0.
∴有(k∈Z),
∴函数y=的定义域为{x｜x≠,k∈Z}.
(4)当sinx≥0且tanx有意义时,函数有意义,
∴有(k∈Z).
∴函数y=+tanx的定义域为
［2kπ,2kπ+)∪(2kπ+,(2k+1)π］(k∈Z).
知能训练
课本本节练习.
解答:
1.sin=;cos=;tan=
点评:根据定义求某个特殊角的三角函数值.
2.sinθ=;cosθ=;tanθ=.
点评:已知角α终边上一点的坐标,由定义求角α的三角函数值.
3.
角α
0°
90°
180°
270°
360°
角α的弧度数
0
Π
2π
sinα
0
1
0
-1
0
cosα
1
0
-1
0
1
tanα
0
不存在
0
不存在
0
点评:熟悉特殊角的三角函数值,并进一步地理解公式一.
4.当α为钝角时,cosα和tanα取负值.
点评:认识与三角形内角有关的三角函数值的符号.
5.(1)正;(2)负;(3)零;(4)负;(5)正;(6)正.
点评:认识不同位置的角对应的三角函数值的符号.
6.(1)①③或①⑤或③⑤;(2)①④或①⑥或④⑥;
(3)②④或②⑤或④⑤;(4)②③或②⑥或③⑥.
点评:认识不同象限的角对应的三角函数值的符号.
7.(1)0.874 6;(2);(3)0.5;(4)1.
点评:求三角函数值,并进一步地认识三角函数的定义及公式一.
课堂小结
本节课我们给出了任意角三角函数的定义,并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域,任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展,是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比,记忆方法可用锐角三角函数类比记忆,至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到.本节课我们重点讨论了两个内容,一是三角函数在各象限内的符号,二是一组公式,两者的作用分别是:前者确定函数值的符号,后者将任意角的三角函数化为0°到360°角的三角函数,这两个内容是我们日后学习的基础,经常要用,请同学们熟记.
作业
课本习题1.2A组题1—9.
设计感想
关于三角函数定义法,总的说来就两种:“单位圆定义法”与“终边定义法”.这两种方法本质上是一致的.正因为此,各种数学出版物中,两种定义方法都有采用.在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比、学习.理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键,也是学好本章内容的关键.在教学中,教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力,以巩固对知识的理解和掌握.
教师在教学中,始终引导学生紧扣三角函数的定义,善于利用数形结合.在利用三角函数定义进行求值时,应特别强调要注意横向联系,即不仅仅能求出该值,还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系,找出规律来求解.
(设计者：房增凤)
第2课时
导入新课
思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车,大家是否想过大观览车在转动过程中,座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化,二者之间有怎样的相依关系呢?
思路2.(复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符号,学习了将任意角的三角函数化成0°—360°角的三角函数的一组公式,前面还分析讨论了三角函数的定义域,这些内容的研究,都是建立在任意角的三角函数定义之上的,这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时,是经常、反复运用的,请同学们务必在理解的基础上要加强记忆.由三角函数的定义我们知道,对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的,或者说是用数来表示的,今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法.我们知道,直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向,以使它们的取值与点的坐标联系起来.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:回忆上节课学习的三角函数定义并思考:三角函数的定义能否用几何中的方法来表示,应怎样表示呢?
问题②:回忆初中学过的线段,若加上方向会怎样呢?什么是有向线段?
活动:指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆,设任意角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P(x,y),x轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0),过P作x轴的垂线,垂足为M;过A作单位圆的切线,这条切线必平行于y轴(垂直于同一条直线的两直线平行),设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P的坐标.显然,线段OM的长度为|x|,线段MP的长度为|y|,它们都只能取非负值.
当角α的终边不在坐标轴上时,我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段:
如果x>0,OM与x轴同向,规定此时OM具有正值x;如果x<0,OM与x轴正向相反(即反向),规定此时OM具有负值x,所以不论哪一种情况,都有OM=x.
如果y>0,把MP看作与y轴同向,规定此时MP具有正值y;如果y<0,把MP看作与y轴反向,规定此时MP具有负值y,所以不论哪一种情况,都有MP=y.
引导学生观察OM、MP都是带有方向的线段,这种被看作带有方向的线段叫做有向线段.
于是,根据正弦、余弦函数的定义,就有
sinα===y=MP,
cosα===x=OM.
这两条与单位圆有关的有向线段MP、OM分别叫做角α的正弦线、余弦线.
类似地,我们把OA、AT也看作有向线段,那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识,就有tanα===AT.
这条与单位圆有关的有向线段AT,叫做角α的正切线.
讨论结果:①能.
②被看作带有方向的线段叫做有向线段.
提出问题
问题①:怎样把三角函数线与有向线段联系在一起?
问题②:正弦线、余弦线、正切线在平面直角坐标系中是怎样规定的?当角α的终边变化时,它们有什么变化?
活动:师生共同讨论,最后一致得出以下几点:
(1)当角α的终边在y轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在.
(2)当角α的终边在x轴上时,正弦线、正切线都变成点.
(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段,所以作某角的三角函数线时,一定要先作单位圆.
(4)线段有两个端点,在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时,要先写起点字母,再写终点字母,不能颠倒;或者说,含原点的线段,以原点为起点,不含原点的线段,以此线段与x轴的公共点为起点.
(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致,三种有向线段的数量与三种三角函数值相同.
正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.
讨论结果:①略.
②略.
示例应用
思路1
例1 如图7,α,β的终边分别与单位圆交于点P,Q,过A(1,0)作切线AT,交
图7
射线OP于点T,交射线OQ的反向延长线于T′,点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N,则
sinα=______________,cosα=______________,tanα=______________,sinβ=______________,cosβ=______________,tanβ=______________.
活动:根据三角函数线的定义可知,sinα=MP,cosα=OM,tanα=AT,sinβ=NQ,cosβ
=ON,tanβ=AT′.
答案:MP OM AT NQ ON AT′
点评:掌握三角函数线的作法,注意用有向线段表示三角函数线时,字母的书写顺序不能随意颠倒.
变式训练
利用三角函数线证明｜sinα｜+｜cosα｜≥1.
解:当α的终边落在坐标轴上时,正弦(或余弦)线变成一个点,而余弦(或正弦)线的长等于r,所以｜sinα｜+｜cosα｜=1.
当角α终边落在四个象限时,利用三角形两边之和大于第三边有｜sinα｜+｜cosα｜=｜OM｜+｜MP｜>1,∴｜sinα｜+｜cosα｜≥1.
例2 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边或终边所在的范围,并由此写出角α的集合:(1)sinα=;(2)sinα≥.
活动:引导学生画出单位圆,对于(1),可设角α的终边与单位圆交于A(x,y),则sinα=y,所以要作出满足sinα=的终边,只要在单位圆上找出纵坐标为的点A,则OA即为角α的终边;对于(2),可先作出满足sinα=的角的终边,然后根据已知条件确定角α的范围.
图8
解:(1)作直线y=交单位圆于A与B两点,连结OA,OB,则OA与OB为角α的终边,如图8所示.
故满足条件的角α的集合为{α|α=2kπ+或α=2kπ+,k∈Z}.
(2)作直线y=交单位圆于A与B两点,连结OA,OB,则OA与OB围成的区域(如图中的阴影部分)即为角α的终边所在的范围.
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.
点评:在解简单的特殊值(如±,等)的等式或不等式时,应首先在单位圆内找到对应的终边(作纵坐标为特殊值的直线与单位圆相交,连结交点与坐标原点作射线),一般情况下,用(0,2π)内的角表示它,然后画出满足原等式或不等式的区域,用集合表示出来.
变式训练
已知sinα≥,求角α的集合.
解:作直线y=交单位圆于点P,P′,则sin∠POx=sin∠P′Ox=,在［0,2π)内∠POx=,∠P′Px=.
∴满足条件的集合为{α｜2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.
思路2
例1 求下列函数的定义域:
(1)y=logsinx (2cosx+1);(2)y=lg(3-4sin2x).
活动:先引导学生求出x所满足的条件,这点要提醒学生注意,研究函数必须在自变量允许的范围内研究,否则无意义.再利用三角函数线画出满足条件的角x的终边范围.求解时,可根据各种约束条件,利用三角函数线画出角x满足条件的终边范围,写出适合条件的x的取值集合.
解:(1)由题意,得
则(k∈Z).
∴函数的定义域为{x|2kπ
(2)∵3-4sin2x>0,∴sin2x<.∴
即x∈(kπ-,kπ+)(k∈Z).
(所求x的终边所在的区域如图10中的阴影部分所示)
图9 图10
变式训练
求函数y=的定义域.
解:要使函数有意义,需满足2cosx-1≥0,所以cosx≥.
故由余弦函数线可知函数的定义域为［2kπ-,2kπ+］,k∈Z.
例2 证明恒等式+++=2.
活动:引导学生总结证明恒等式的方法与步骤,特别地,在证明三角恒等式时,一般地是从较繁的一边推向较简的一边.从方向上来推证三角恒等式主要有三种推证方法,即:从左边推向右边;从右边推向左边;左、右两边同推向第三个式子.
解:证法一:
设M(x,y)为角α终边上异于原点的一点,｜OM｜=r,由三角函数定义有
sinα=,cosα=,secα=,cscα=.
原式左边=
=
=
=2=右边.
∴原等式成立.
证法二:
左边=
=
=
∴左边=右边.∴原等式成立.
点评:根据本题的特点,被证式的左边比较复杂,故可由左边证向右边.
变式训练
求证:
证明:设M(x,y)为α终边上异于原点的一点,｜OM｜=r,由三角函数定义有
左边=
=
=
=
右边=
∴左边=右边,故原等式成立.
知能训练
课本本节练习.
解答:1.终边在不同位置的角对应的三角函数值的情况,包括三角函数值的符号情况,终边相同的角的同一三角函数的值相等.
点评:利用单位圆中的三角函数线认识三角函数的性质,对未学性质的认识不作统一要求.
2.(1)如图11所示,
图11
(2)(3)(4)略.
点评:作已知角的三角函数线.
3.225°角的正弦、余弦、正切线的长分别为3.5 cm、3.5 cm、5 cm;330°角的正弦、余弦、正切线的长分别为2.5 cm、4.3 cm、2.9 cm,其中5,2.5是准确数,其余都是近似数(图略).
sin225°==-0.7,cos225°==-0.7,tan225°=-1;
sin330°=-0.5,cos330°==0.86,tan330°==-0.58.
点评:进一步认识单位圆中的三角函数线.
4.三角函数线是三角函数的几何表示,它直观地刻画了三角函数的概念,与三角函数的定义结合起来,可以从数和形两方面认识三角函数的定义,并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、公式一等的理解容易了.
点评:反思单位圆中的三角函数线对认识三角函数概念的作用.
课堂小结
本节课我们学习了有向线段的定义,正弦线、余弦线、正切线的定义,这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段,其之所以特殊,一是其与坐标轴平行(或重合),二是其与单位圆有关,这些线段分别都可以表示相应三角函数的值,所以说它们是三角函数的一种几何表示.
三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具,利用三角函数线可以解或证明三角不等式,求函数的定义域以及比较大小,三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具.
作业
1.利用单位圆和三角函数线证明:
若α为锐角,则(1)sinα+cosα>1;(2)sin2α+cos2α=1.
图12
证明:如图12,记角α与单位圆的交点为P,过P作PM⊥x轴于M,则sinα=MP,cosα=OM.
(1)在Rt△OMP中,MP+OM>OP,即sinα+cosα>1.
(2)在Rt△OMP中,MP2+OM2=OP2,即sin2α+cos2α=1.
2.求下列函数的定义域:
(1)y=;(2)y=.
答案:(1)x∈[kπ-,kπ+],k∈Z.
(2)x∈［+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ, +2kπ］,k∈Z.
设计感想
对于三角函数线,开始时学生可能不是很理解,教师应该充分发挥好图象的直观作用,让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义.在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后,教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.以便为以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础.教师要让学生对三角函数线了解即可,要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势,不要再向深处挖掘,因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决.教师在教学中要搞好师生互动,让学生自己动脑、动手,多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力,让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力.