高二下册数学2.3　复合函数的导数

1.2.3复合函数的导数
【学情分析】：
在学习了用导数定义这种方法计算常见函数的导数,而且已经熟悉了导数加减运算法则后.本节将继续介绍复合函数的求导方法.
【教学目标】：
(1)理解掌握复合函数的求导法则.
(2)能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导
(3)培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．
【教学重点】：
简单复合函数的求导法则，也是由导数的定义导出的，要掌握复合函数的求导法则，须在理解复合过程的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数并灵活应用.
【教学难点】：
复合函数的求导法则的导入,复合函数的结构分析,可多配例题, 让学生对求导法则有一个直观的了解.
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、情景
引入
回忆我们上一节课的例1，如果式子中某商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？
根据上一节课的内容，我们知道，求在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度，只需求关于的导数.但是如何求关于的导数呢？我们需要用到新的知识，即“导数的运算法则”.
从实际生活的例子出发，使学生对导数的运算法则有一个更深刻的认识。
二、讲授新课
（1）导数的 四则运算
导数的四则运算公式：
；
；
例1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数。
（1）
（2）
（3）
导数的乘、除运算比较容易出错，要强调，引起注意.
（2）复合函数的定义.
一般地，对于两个函数，如果通过变量可以表示成的函数，那么称这个函数为函数的复合函数.
例1、试说明下列函数是怎样复合而成的？
(1)；
⑵；
⑶
⑷．
例2、写出由下列函数复合而成的函数：
⑴，；　　⑵，．
直接给出定义,并与基本初等函数相区别和联系.
说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．
（3）复合函数的导数
思考：如何求函数的导数？
复合函数的导数和函数的导数间的关系为.
例3、求下列函数的导数：
（1）； （2）；
（3）
对于（1）
①能否用学过四则运算解决问题?
②新方法：将函数看作是函数和函数复合函数，并分别求对应变量的导数如下：，
两个导数相乘，得
，
从而有
对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y′x时，就可以转化为求yu′和u′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同。
（学生自主完成（2）、（3））。
例4、求y=sin2(2x+)的导数
分析: 设u=sin(2x+)时，求，但此时u仍是复合函数，所以可再设v=2x+.
解略.
两种方法作对照与比较,体会不同的解决方法与策略.鼓励学生模仿并及时修正.
三、巩固与提升
1、求的导数．
解：
【点评】
求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．
2、求的导数．
解：
【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．
3、求y ＝sin4x ＋cos 4x的导数．
【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22 x
＝1－（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x．
【解法二】y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′
＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x)
＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x
【点评】
解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．
4、曲线y ＝x（x ＋1）（2－x）有两条平行于直线y ＝x的切线，求此二切线之间的距离．
【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y′＝－3 x 2＋2 x ＋2
令y′＝1即3 x2－2 x －1＝0，解得 x ＝－或x ＝1．
于是切点为P（1，2），Q（－，－），
过点P的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．
显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为＝．
四、课堂小结
⑴复合函数求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；
⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代.
(11)作业布置:教科书P18A3,4(6),8,B3
练习与测试:
1．填空：
(1)；(2)
2.求下列函数的导数：(1)y= (2)y= (3)y=tanx (4)y=
3.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.
4.求y=的导数.
5.求y=的导数.
6.求函数y=(2x2－3)的导数.
参考答案:
1．(1)∵
(2)
2. (1)y′=()′
(2)y′=()′
(3)y′=(tanx)′=()′
(4)y′=()′
＝
3.不正确，分母未平方，分子上正负号弄错.
4.y′=()′
5.y′=()′
5.y′=()′
6. 分析: y可看成两个函数的乘积，2x2－3可求导，是复合函数，可以先算出对x的导数.
令y=uv，u=2x2－3，v=, 令v=，ω=1+x2
= (1+x2) x′
=
∴yx′=(uv) x′=u x′v+uv x′
=(2x2－3) x′·+(2x2－3)·
=4x
即yx′= .