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  • 高二上册数学空间向量与立体几何复习1

    2021-03-06 高二上册数学人教版

    空间向量与立体几何(复习一)
    【学情分析】:
    学生已经掌握了空间向量的基础知识,并能较好地用它证明立体几何中的平行、垂直问题,计算空间角、空间距离。但运用还不娴熟,计算易错的环节仍然出错。
    【教学目标】:
    (1)知识目标:运用空间向量证明立体几何中的平行、垂直问题,及计算空间角的计算。同时也试用传统的方法来解题。
    (2)过程与方法目标:总结归纳,讲练结合,以练为主。
    (3)情感与能力目标:通过总结归纳,综合运用,让学生享受成功的喜悦,提高学习数学兴趣,提高计算能力和空间想象能力。
    【教学重点】:。运用空间向量证明立体几何中的平行、垂直问题。
    【教学难点】:计算空间角
    【课前准备】:投影
    【教学过程设计】:
    教学环节
    教学活动
    设计意图
    一、复习引入
    设空间两条直线的方向向量分别为,两个平面的法向量分别为,则由如下结论
    平 行
    垂 直



    左表给出了用向量研究空间线线、线面、面面位置关系的方法,判断的依据是相关的判定与性质,要理解掌握
    二、应用实例
    平行、垂直、角的计算
    例1.如图,已知矩形ABCD和矩形ADEF交于AD,点M,N分别在对角线BD,AE上,且.
    求证:MN//平面CDE
    证明:
    =
    又与不共线
    根据共面向量定理,可知共面。
    由于MN不在平面CDE中,
    所以MN//平面CDE.
    证法二:思路:在上取一点P,
    使再用传统的方法
    证明平面MNP∥平面CDE即可。
    例2、棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC?
    解:以D为原点
    建立如图所示的坐标系,
    设存在点P(0,0,z),
    =(-a,0,z),
    =(-a,a,0),=(a,a,a),
    ∵B1D⊥面PAC,∴,
    ∴-a2+az=0∴z=a,即点P与D1重合
    ∴点P与D1重合时,DB1⊥面PAC
    方法二:引导学生用三垂线定理来解题。
    例3 (2004年湖南高考理科试题)如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中, ,点E在PD上,且PE:ED= 2: 1.
    (Ⅲ)在棱PC上是否存在一点F, 使BF∥平面AEC?证明你的结论.
    根据题设条件,结合图形容易得到:
    假设存在点F

    又,
    则必存在实数使得,把以上向量得坐标形式代入得

    所以,在棱PC存在点F,即PC中点,能够使BF∥平面AEC。
    本题证明过程中,借助空间坐标系,运用共面向量定理,应用待定系数法,使问题的解决变得更方便,这种方法也更容易被学生掌握。
    例4、如图,在正三棱柱中,
    、分别是棱、的中点,

    (Ⅰ)证明:;
    (Ⅱ)求二面角的大小。
    解:如图建立空间直角坐标系,
    则(Ⅰ)证明:
    因为,,
    ,,
    所以,

    故,
    因此,有;
    (Ⅱ)设是平面的法向量,
    因为,,所以由
    可取;
    同理,是平面的法向量。
    设二面角的平面角为,则

    本例中没有现成的三条互相垂直的直线,需动脑筋构造。二面角的大小与其两个面的法向量的夹角相等或互补,要根据实际情况来取舍。
    (传统解法)作DM⊥AB于M,
    则DM⊥平面ABB’A’。
    作MN⊥AB’于N,连DN,
    则∠MND即是二面角
    的平面角。
    先建立图空间坐标系再用向量解题
    三、堂上练习
    已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60º
    (1)证明CC1⊥BD
    (2)当的值为多少时,能使
    A1C⊥平面C1BD?并证明
    分析:取为运算的基向量,则。
    注意向量间的方向对夹角的影响
    略证(2)设,菱形边长为a,则
    ,解得
    当时,
    四、小结
    学生归纳,教师适当的补充、概括。
    练习与测试:
    (基础题)
    1.下列各组向量中不平行的是( )
    A. B.
    C. D.
    答:D。
    2.若A,B,C,则△ABC的形状是( )
    A.不等边锐角三角形 B.直角三角形
    C.钝角三角形 D.等边三角形
    答:A。
    3.已知正方体的棱长是,则直线与间的距离为 。
    答: 。提示:

    则,而另可设

    4.已知四棱锥的底面为直角梯形,,底面,且,,是的中点。
    (Ⅰ)证明:面面;
    (Ⅱ)求与所成的角;
    证明:以为坐标原点长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为
    .
    (Ⅰ)证明:因
    由题设知,且与是平面内的两条相交直线,由此得面.又在面上,故面⊥面.
    (Ⅱ)解:因
    (中等题)
    5.如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面是正三角形,
    平面底面.
    (Ⅰ)证明:平面;
    (Ⅱ)求面与面所成的二面角的大小.
    证明:以为坐标原点,建立如图所示的坐标图系.
    (Ⅰ)证明:不防设作,
    则, ,
    由得,又,因而与平面内两条相交直线,都垂直. ∴平面.
    (Ⅱ)解:设为中点,则,

    因此,是所求二面角的平面角,
    解得所求二面角的大小为
    6.如图,在四棱锥中,底面为矩形,
    侧棱底面,,,,
    为的中点.
    (Ⅰ)求直线与所成角的余弦值;
    (Ⅱ)在侧面内找一点,使面,
    并求出点到和的距离.
    解:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,
    则的坐标为、
    、、、
    、,
    从而
    设的夹角为,则
    ∴与所成角的余弦值为.
    (Ⅱ)由于点在侧面内,故可设点坐标为,则
    ,由面可得,

    即点的坐标为,从而点到和的距离分别为.
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