学业分层测评（二十五）
(建议用时：45分钟)
[达标必做]
一、选择题
1．(2016·温州高一检测)在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是( )
A．(－1,3，－5) B．(1,3,5)
C．(1，－3,5) D．(－1，－3,5)
【解析】 P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标为(1,3,5)．
【答案】 B
2．点P到原点O的距离是( )
A. B．1
C. D.
【解析】 |PO|＝＝1.
【答案】 B
3．与A(3,4,5)，B(－2,3,0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是( )
A．10x＋2y＋10z－37＝0
B．5x－y＋5z－37＝0
C．10x－y＋10z＋37＝0
D．10x－2y＋10z＋37＝0
【解析】 由|MA|＝|MB|，得(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2，化简得10x＋2y＋10z－37＝0，故选A.
【答案】 A
4．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为( )
A．3 B．3
C．2 D．2
【解析】 |AB|＝
＝
＝，
当a＝－1时，|AB|min＝＝3.
【答案】 B
5．如图433，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为( )
图433
A.a B.a
C．a D.a
【解析】 由题意得F，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，
∴E，则|EF|＝
＝a.
【答案】 B
二、填空题
6．点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝________.
【导学号：09960148】
【解析】 点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(1,0，－1)，
∴x＝1，y＝0，z＝－1，
∴x＋y＋z＝1＋0－1＝0.
【答案】 0
7．(2016·景德镇高一检测)在空间直角坐标系中，以O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．
【解析】 S△AOC＝S△BOC＝S△AOB＝×2×2 ＝2，
S△ABC＝×|AB|2＝×8＝2，
故三棱锥的表面积S＝6＋2.
【答案】 6＋2
三、解答题
8．已知点A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)，判断△ABC的形状．
【解】 |AB|＝
＝，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝.
因为|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
所以△ABC为等腰直角三角形．
9．在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|＝|BC|＝2，|D1D|＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图434所示的空间直角坐标系．
图434
(1)写出点D，N，M的坐标；
(2)求线段MD，MN的长度；
(3)设点P是线段DN上的动点，求|MP|的最小值．
【解】 (1)D(0,0,0)，N(2,1,0)，M(1,2,3)．
(2)|MD|＝＝，
|MN|＝＝.
(3)在xDy平面上，
设点P的坐标为(2y，y,0)，y∈[0,1]，
则|MP|＝
＝
＝.
因为y∈[0,1]，所以当y＝时，
|MP|取最小值，即.
[自我挑战]
10．在平面直角坐标系Oxyz中，M与N关于xOy面对称，OM与平面xOy所成的角是60°，若|MN|＝4，则|OM|＝( )
A．4 B．1
C. D．2
【解析】 由题意知MN⊥平面xOy，设垂足为H，
则|MH|＝|NH|＝|MN|＝2，
又OM与平面xOy所成的角为60°，
则|OM|sin 60°＝|MH|.
∴|OM|＝＝.
【答案】 C
11．已知直三棱柱ABCA1B1C1(侧棱与底面垂直)中，AC＝2，CB＝CC1＝4，E，F，M，N分别是A1B1，AB，C1B1，CB的中点．如图435所示，建立空间直角坐标系．
图435
(1)在平面ABB1A1内找一点P，使△ABP为等边三角形；
(2)能否在MN上求得一点Q，使△AQB为以AB为斜边的直角三角形？若能，请求出点Q的坐标；若不能，请予以证明．
【解】 (1)因为EF是AB的中垂线，在平面ABB1A1内只有EF上的点与A，B两点的距离相等，又A(2,0,0)，B(0,4,0)，设点P坐标为(1,2，m)，
由|PA|＝|AB|得
＝.
所以m2＝15.
因为m∈[0,4]，所以m＝，
故平面ABB1A1内的点P(1,2，)，
使得△ABP为等边三角形．
(2)设MN上的点Q(0,2，n)满足题意，由△AQB为直角三角形，其斜边上的中线长必等于斜边长的一半，
所以|QF|＝|AB|，又F(1,2,0)，
则
＝，
整理得＝.
所以n2＝4.
因为n∈[0,4]，所以n＝2.
故MN上的点Q(0,2,2)使得△AQB为以AB为斜边的直角三角形．