章末复习课
整合·网络构建]
警示·易错提醒]
1．线性回归方程中的系数及相关指数R2，独立性检验统计量K2公式复杂，莫记混用错．
2．相关系数r是判断两随机变量相关强度的统计量，相关指数R2是判断线性回归模型拟合效果好坏的统计量，而K2是判断两分类变量相关程度的量，应注意区分．
3．在独立性检验中，当K2≥6.635时，我们有99.9%的把握认为两分类变量有关，是指“两分类变量有关”这一结论的可信度为99%而不是两分类变量有关系的概率为99%.
专题一 回归分析思想的应用
回归分析是对抽取的样本进行分析，确定两个变量的相关关系，并用一个变量的变化去推测另一个变量的变化．如果两个变量非线性相关，我们可以通过对变量进行变换，转化为线性相关问题．
例1] 一个车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下表所示：
零件数x/个
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
加工时间y/min
62
72
75
81
85
95
103
108
112
127
(1)画出散点图，并初步判断是否线性相关；
(2)若线性相关，求线性回归方程；
(3)求出相关指数；
(4)作出残差图；
(5)进行残差分析；
(6)试制订加工200个零件的用时规定．
解：(1)散点图，如图所示：
由图可知，x，y线性相关．
(2)x与y的关系可以用线性回归模型来拟合，不妨设回归模型为＝＋x.因为＝55，＝92，
0．670，
＝－＝92－×55＝≈55.133.
故线性回归方程为＝0.670x＋55.133.
(3)利用所求回归方程求出下列数据：
yi
61.833
68.533
75. 233
81.933
88.633
yi－yi
0.167
3.467
－0.233
－0.933
－3.633
yi－
－30
－20
－17
－11
－7
yi
95.333
102.033
108.733
115.433
122.133
yi－yi
－0.333
0.967
－0.733
－3.433
4.867
yi－
3
11
16
20
35
(4)因为ei＝yi－yi，利用上表中数据作出残差图，如图所示：
(5)由散点图可以看出x与y有很强的线性相关性，由R2的值可以看出回归效果很好．
由残差图也可观察到，第2，5，9，10个样本点的残差比较大，需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误．
(6)将x＝200代入回归方程，得＝189，所以可以制订189 min加工200个零件的规定．
归纳升华
建立回归模型的一般步骤：
(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系)；
(3)由经验确定回归方程的类型，如我们观察到数据呈线性关系，选用线性回归方程＝＋x；
(4)按一定规则估计回归方程中的参数；
(5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等)，若残差存在异常，则应检查数据是否有误，或模型是否合适等；
(6)依据回归方程做出预报．
变式训练] 某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y台之间有如下对应数据：
单价x/元
35
40
45
50
日销售y/台
56
41
28
11
(1)画出散点图并说明y与x是否具有线性相关关系？如果有，求出线性回归方程(方程的斜率保留一个有效数字)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(1)写出P关于x的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．
解：散点图如图所示：从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量具有线性相关关系．
设回归直线方程为＝＋x，由题意知＝42.5，＝34,
＝－＝34－(－3)×42.5＝161.5.
所以＝－3x＋161.5.
(2)依题意有：
P＝(－3x＋161.5)(x－30)＝－3x2＋251.5x－4 845＝－3＋－4 845.
所以当x＝≈42时，P有最大值．
即预测销售单价约为42元时，能获得最大日销售利润．
专题二 独立性检验的应用
独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分析方法．常用等高条形图来直观反映两个分类变量之间差异的大小；利用假设检验求随机变量K2的值能更精确地判断两个分类变量间的相关关系．
例2] 为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表所示：
月收入
15，25)
25，35)
35，45)
45，55)
55，65)
65，75)
频数
5
10
15
10
5
5
赞成
人数
4
8
8
5
2
1
将月收入不低于55的人群称为“高收入族”，有收入低于55的人群称为“非高收入族”．
(1)已知：K2＝，当K2＜2.706 时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2＞2.706时，有90%的把握判断赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2＞3.841，有95%的把握判断定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2＞6.635时，有99%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关．
根据已知条件完成下面的2×2列联表，有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？
分类
非高收入族
高收入族
总计
赞成
不赞成
总计
(2)现从月收入在55，65)的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人中至少一人赞成楼市限购令的概率．
解：(1)2×2列联表如下表所示：
分类
非高收入族
高收入族
总计
赞成
25
3
28
不赞成
15
7
22
总计
40
10
50
K2＝≈3.43，故有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关．
(2)设“从月收入在55，65)的5人中随机抽取2人，其中至少有1人赞成楼市限购令”为事件A，则事件A含有基本事件数为C－C＝7，从5人中任取2人所含基本事件数为C＝10，因此所求概率为.
归纳升华
(1)判断两个分类变量之间是否有关系可以通过等高条形图作粗略判断，需要确知所作判断犯错误的概率情况下，可进行独立性检验，独立性检验可以得到较为可靠的结论．
(2)独立性检验的一般步骤：
①根据样本数据制成2×2列联表；
②根据公式计算K2的值；
③比较K2与临界值的大小关系，做出统计推断．
变式训练] 调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到如下数据．试问能以多大把握认为婴儿的性别与出生时间有关系？
性别
晚上
白天
总计
男婴
24
31
55
女婴
8
26
34
总计
32
57
89
解：由公式K2＝计算得
K2＝≈3.69，
由于K2＞2.706，所以只有90%的把握说明婴儿出生的时间与性别有关，故婴儿的出生的时间与性别是相互独立的(也可以说没有充分的证据显示婴儿的性别与其出生时间有关)．
专题三 数形结合思想
数形结合思想在统计中的应用主要是将收集到的数据利用图表的形式表示出来，直观地反映变量间的关系．
例3] 为了解铅中毒病人是否有尿棕色素增加现象，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下，问铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别？
组别
阳性数
阴性数
总计
铅中毒病人
29
7
36
对照组
9
28
37
总计
38
35
73
解： 由上述列联表可知，在铅中毒病人中尿棕色素为阳性的占80.56%，而对照组仅占24.32%.说明他们之间有较大差别．
根据列联表作出等高条形图由图可知，铅中毒病人中与对照组相比较，尿棕色素为阳性差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性存在关联关系．
归纳升华
收集数据、整理数据是统计知识处理问题的两个基本步骤，将收集到的数据利用图表的形式整理出来，能够直观地反映变量之间的关系．在精确度要求不高的情况下，可以利用散点图、等高条形图等对两个变量之间的关系做出判断．
变式训练] 根据如下样本数据：
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的回归方程为＝bx＋a，则( )
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
解析：根据题中表内数据画出散点图如图所示，由散点图可知b＜0，a＞0.
答案： B