学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．为了研究变量x和y的线性相关性，甲、乙两人分别利用线性回归方法得到回归直线l1和l2，已知两人计算过程中，分别相同，则下列说法正确的是( )
A．l1与l2一定平行
B．l1与l2重合
C．l1与l2相交于点(，)
D．无法判断l1和l2是否相交
【解析】 回归直线一定过样本点的中心(，)，故C正确．
【答案】 C
2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如下表：
甲
乙
丙
丁
R2
0.98
0.78
0.50
0.85
哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解析】 相关指数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好．
【答案】 A
3．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )
【解析】 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．
【答案】 A
4．对于指数曲线y＝aebx，令U＝ln y，c＝ln a，经过非线性化回归分析后，可转化的形式为( )
A．U＝c＋bx B．U＝b＋cx
C．y＝c＋bx D．y＝b＋cx
【解析】 由y＝aebx得ln y＝ln(aebx)，∴ln y＝ln a＋
ln ebx，
∴ln y＝ln a＋bx，∴U＝c＋bx.故选A.
【答案】 A
5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如表所示：
父亲身高x(cm)
174
176
176
176
178
儿子身高y(cm)
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为( )
A.＝x－1 B.＝x＋1
C.＝88＋x D.＝176
【解析】 设y对x的线性回归方程为＝x＋，
因为＝＝，＝176－×176＝88，所以y对x的线性回归方程为＝x＋88.
【答案】 C
二、填空题
6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性进行分析，并用回归分析的方法分别求得相关指数R2与残差平方和Q(，)如下表：
甲
乙
丙
丁
R2
0.67
0.61
0.48
0.72
Q(，)
106
115
124
103
则能体现A，B两个变量有更强的线性相关性的为________．
【解析】 丁同学所求得的相关指数R2最大，残差平方和Q(，)最小．此时A，B两变量线性相关性更强．
【答案】 丁
7．在对两个变量进行回归分析时，甲、乙分别给出两个不同的回归方程，并对回归方程进行检验．对这两个回归方程进行检验时，与实际数据(个数)对比结果如下：
与实际相符数据个数
与实际不符合数据个数
总计
甲回归方程
32
8
40
乙回归方程
40
20
60
总计
72
28
100
则从表中数据分析，________回归方程更好(即与实际数据更贴近)．
【解析】 可以根据表中数据分析，两个回归方程对数据预测的正确率进行判断，甲回归方程的数据准确率为＝，而乙回归方程的数据准确率为＝.显然甲的准确率高些，因此甲回归方程好些．
【答案】 甲
8．如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.8，a＝2，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过________亿元. 【导学号：97270060】
【解析】 ∵x＝10时，y＝0.8×10＋2＋e＝10＋e，
∵|e|≤0.5，∴y≤10.5.
【答案】 10.5
三、解答题
9．某服装店经营某种服装，在某周内纯获利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据如下表：
x
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91
(1)求样本点的中心；
(2)画出散点图；
(3)求纯获利y与每天销售件数x之间的回归方程．
【解】 (1)＝6，≈79.86，样本点的中心为(6,79.86)．
(2)散点图如下：
(3)因为＝≈4.75，＝－≈51.36，
所以＝4.75x＋51.36.
10．为了研究某种细菌随时间x变化繁殖个数y的变化，收集数据如下：
时间x/天
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y
6
12
25
49
95
190
(1)用时间作解释变量，繁殖个数作预报变量作出这些数据的散点图；
(2)求y与x之间的回归方程．
【解】 (1)散点图如图所示：
(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1ec2x的周围，于是令z＝ln y，则
x
1
2
3
4
5
6
z
1.79
2.48
3.22
3.89
4.55
5.25
由计算器算得，＝0.69x＋1.112，则有＝e0.69x＋1.112.
[能力提升]
1．(2016·青岛一中调研)某学生四次模拟考试中，其英语作文的减分情况如表：
考试次数x
1
2
3
4
所减分数y
4.5
4
3
2.5
显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为( )
A．y＝0.7x＋5.25 B．y＝－0.6x＋5.25
C．y＝－0.7x＋6.25 D．y＝－0.7x＋5.25
【解析】 由题意可知，所减分数y与模拟考试次数x之间为负相关，所以排除A.
考试次数的平均数为＝(1＋2＋3＋4)＝2.5，
所减分数的平均数为＝(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5，
即直线应该过点(2.5,3.5)，代入验证可知直线y＝－0.7x＋5.25成立，故选D.
【答案】 D
2．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
若x与y具有线性相关关系，则线性回归方程为________．
【解析】 iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，＝＝9，
＝＝4，
＝62＋82＋102＋122＝344，
＝＝＝0.7，
＝－＝4－0.7×9＝－2.3，
故线性回归方程为＝0.7x－2.3.
【答案】 ＝0.7x－2.3
3．某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y(件)与平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表：
时间
二月上旬
二月中旬
二月下旬
三月上旬
旬平均气温x(℃)
3
8
12
17
旬销售量y(件)
55
m
33
24
由表中数据算出线性回归方程＝x＋中的＝－2，样本中心点为(10,38)．
(1)表中数据m＝__________.
(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22 ℃，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为__________件．
【解析】 (1)由＝38，得m＝40.
(2)由＝－ ，得＝58，
故＝－2x＋58，
当x＝22时，＝14，
故三月中旬的销售量约为14件．
【答案】 (1)40 (2)14
4．(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
图312
(xi－)2
(wi－)2
(xi－)(yi－)
(wi－)(yi－)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
表中wi＝，w]＝wi.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－ .
【解】 (1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．
由于＝＝＝68，
＝－ ＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，
因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.
(3)①由(2)知，当x＝49时，
年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.