第三章 三角恒等变换(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于( )
A．0B.C.D．1
2．若函数f(x)＝sin2x－(x∈R)，则f(x)是( )
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
3．已知α∈(，π)，sinα＝，则tan(α＋)等于( )
A.B．7C．－D．－7
4．函数f(x)＝sinx－cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A．[－π，－]B．[－，－]
C．[－，0]D．[－，0]
5．化简：的结果为( )
A．1B.C.D．tanθ
6．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)等于( )
A．3－cos2xB．3－sin2x
C．3＋cos2xD．3＋sin2x
7．若函数f(x)＝sin(x＋)＋asin(x－)的一条对称轴方程为x＝，则a等于( )
A．1B.C．2D．3
8．函数y＝sin2x＋sin2x，x∈R的值域是( )
A．[－，]B．[－＋，＋]
C．[－，]D．[－－，－]
9．若3sinθ＝cosθ，则cos2θ＋sin2θ的值等于( )
A．－B.C．－D.
10．已知3cos(2α＋β)＋5cosβ＝0，则tan(α＋β)tanα的值为( )
A．±4B．4C．－4D．1
11．若cos＝，sin＝－，则角θ的终边所在的直线方程为( )
A．7x＋24y＝0B．7x－24y＝0
C．24x＋7y＝0D．24x－7y＝0
12．使奇函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)在[－，0]上为减函数的θ的值为( )
A．－B．－C.D.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数f(x)＝sin2(2x－)的最小正周期是______．
14．已知sinαcosβ＝1，则sin(α－β)＝________.
15．若0<α<<β<π，且cosβ＝－，sin(α＋β)＝，则cosα＝________.
16．函数y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)，(x∈R)的最大值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知sin(α＋)＝－，α∈(0，π)．
(1)求的值；
(2)求cos(2α－)的值．
18．(12分)已知函数f(x)＝2cosxsinx＋2cos2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值；
(3)求函数f(x)的单调增区间．
19．(12分)已知向量a＝(cos，sin)，b＝(cos，－sin)，且x∈[－，]．
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．
20．(12分)已知△ABC的内角B满足2cos2B－8cosB＋5＝0，若＝a，＝b且a，b满足：a·b＝－9，|a|＝3，|b|＝5，θ为a，b的夹角．
(1)求角B；
(2)求sin(B＋θ)．
21．(12分)已知向量m＝(－1，cosωx＋sinωx)，n＝(f(x)，cosωx)，其中ω>0，且m⊥n，又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴的间距为.
(1)求ω的值；
(2)设α是第一象限角，且f(α＋)＝，求的值．
22．(12分)已知函数f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(，)．
(1)求φ的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在[0，]上的最大值和最小值．
第三章 三角恒等变换(B)
答案
1．D [原式＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 90°＝1.]
2．D [f(x)＝sin2x－＝(2sin2x－1)＝－cos2x，
∴T＝＝π，f(x)为偶函数．]
3．A [∵α∈(，π)，sinα＝，∴cosα＝－，
tanα＝＝－.∴tan(α＋)＝＝＝.]
4．D [f(x)＝sinx－cosx＝2sin(x－)．
令2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
令k＝0得－≤x≤.
由此可得[－，0]符合题意．]
5．B [原式＝＝＝sin60°＝.]
6．C [f(sinx)＝3－(1－2sin2x)＝2＋2sin2x，
∴f(x)＝2x2＋2，
∴f(cosx)＝2cos2x＋2＝1＋cos2x＋2＝3＋cos2x.]
7．B [f(x)＝sin(x＋)－asin(－x)＝sin(x＋)－acos(＋x)＝sin(x＋－φ)
∴f()＝sin＋asin＝a＋＝.
解得a＝.]
8．B [y＝sin2x＋sin2x＝sin2x＋＝sin2x－cos2x＋＝sin(2x－)＋，
∵x∈R，
∴－1≤sin(2x－)≤1，
∴y∈[－＋，＋]．
9．B [∵3sinθ＝cosθ，∴tanθ＝.
cos2θ＋sin2θ＝cos2θ－sin2θ＋2sinθcosθ＝
＝＝＝.]
10．C [3cos(2α＋β)＋5cosβ
＝3cos(α＋β)cosα－3sin(α＋β)sinα＋5cos(α＋β)cosα＋5sin(α＋β)sinα＝0，
∴2sin(α＋β)sinα＝－8cos(α＋β)cosα，
∴tan(α＋β)tanα＝－4.]
11．D [cos＝，sin＝－，tan＝－，∴tanθ＝＝＝.
∴角θ的终边在直线24x－7y＝0上．]
12．D [∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝sinθ＋cosθ＝0.
∴tanθ＝－.∴θ＝kπ－，(k∈Z)．
∴f(x)＝2sin(2x＋θ＋)＝±2sin2x.
∵f(x)在[－，0]上为减函数，
∴f(x)＝－2sin2x，∴θ＝.]
13.
解析 ∵f(x)＝[1－cos(4x－)]＝－sin4x∴T＝＝.
14．1
解析 ∵sinαcosβ＝1，
∴sinα＝cosβ＝1，或sinα＝cosβ＝－1，
∴cosα＝sinβ＝0.
∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝sinαcosβ＝1.
15.
解析 cosβ＝－，sinβ＝，
sin(α＋β)＝，cos(α＋β)＝－，
故cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝(－)×(－)＋×＝.
16．1
解析 令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°，
∴y＝sinα＋cos(α＋30°)
＝sinα＋cosαcos30°－sinαsin30°
＝sinα＋cosα
＝sin(α＋60°)．
∴ymax＝1.
17．解 (1)sin(α＋)＝－，α∈(0，π)⇒cosα＝－，α∈(0，π)⇒sinα＝.
＝＝－.
(2)∵cosα＝－，sinα＝⇒sin2α＝－，cos2α＝－.
cos(2α－)＝－cos2α＋sin2α＝－.
18．解 (1)原式＝sin2x＋cos2x＝2(sin2x＋cos2x)＝2(sin2xcos＋cos2xsin)
＝2sin(2x＋)．
∴函数f(x)的最小正周期为π.
(2)当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)有最大值为2.
当2x＋＝2kπ－，即x＝kπ－(k∈Z)时，f(x)有最小值为－2.
(3)要使f(x)递增，必须使2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴函数f(x)的递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
19．解 (1)a·b＝coscos－sinsin＝cos2x，
|a＋b|＝＝＝2|cosx|，
∵x∈[－，]，∴cosx>0，
∴|a＋b|＝2cosx.
(2)f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1＝2(cosx－)2－.
∵x∈[－，]．∴≤cosx≤1，
∴当cosx＝时，f(x)取得最小值－；当cosx＝1时，f(x)取得最大值－1.
20．解 (1)2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0，即4cos2B－8cosB＋3＝0，得cosB＝.
又B为△ABC的内角，∴B＝60°.
(2)∵cosθ＝＝－，∴sinθ＝.∴sin(B＋θ)＝sinBcosθ＋cosBsinθ＝.
21．解 (1)由题意，得m·n＝0，所以
f(x)＝cosωx·(cosωx＋sinωx)＝＋＝sin(2ωx＋)＋.
根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π.
又ω>0，所以ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin(＋)＋，
所以f(α＋)＝sin(α＋)＋＝cosα＋＝.
解得cosα＝.
因为α是第一象限角，故sinα＝.
所以＝＝＝＝－.
22．解 (1)因为f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(＋φ)(0<φ<π)，
所以f(x)＝sin2xsinφ＋cosφ－cosφ
＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ
＝(sin2xsinφ＋cos2xcosφ)
＝cos(2x－φ)．
又函数图象过点(，)，
所以＝cos(2×－φ)，
即cos(－φ)＝1，
又0<φ<π，所以φ＝.
(2)由(1)知f(x)＝cos(2x－)，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知g(x)＝f(2x)＝cos(4x－)，
因为x∈[0，]，所以4x∈[0，π]，
因此4x－∈[－，]，
故－≤cos(4x－)≤1.
所以y＝g(x)在[0，]上的最大值和最小值分别为和－.