班级____ 姓名____ 考号____ 分数____
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知A(x,1)，B(1,0)，C(0，y)，D(－1,1)，若＝，则x＋y等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：D
解析：∵＝，∴(1－x，－1)＝(－1,1－y)，
∴得x＋y＝4.
2．若a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a与b的长度必相等
B．a∥b且a与b同向
C．a与b不一定相等
D．a是b的相反向量
答案：B
解析：由|a＋b|＝|a|＋|b|可知两向量的夹角为0°或180°，根据a、b为非零向量可知如果有|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b必同向．
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)，又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，∴m＝－，n＝－.故选D.
4．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则( )
A.＋＋＝0 B.－＋＝0
C.＋－＝0 D.－－＝0
答案：A
解析：＋＋＝＋＋＝(＋＋)＝0.
5．在△ABC中，A＝15°，则sinA－cos(B＋C)的值为( )
A. B.
C. D．2
答案：C
解析：原式＝sinA－cos(π－A)＝sinA＋cosA＝2sin(A＋30)＝2sin(15°＋30°)＝.
6．设f(sinx)＝cos2x，则f等于( )
A．－ B．－
C. D.
答案：A
解析：解法一：由f(sinx)＝cos2x＝1－2sin2x，
得f(x)＝1－2x2，
则f＝1－2×2＝－.
解法二：由题意令x＝60°，得
f＝f(sin60°)＝cos120°＝－.
7．已知tan(α＋β)＝，tan＝，则＝( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：∵α＋＝α＋β－，∴tan＝tan
＝＝，
∴＝＝tan＝.
8．函数y＝sin2x＋cos2x的图象，可由函数y＝sin2x－cos2x的图象( )
A．向左平移个单位得到
B．向右平移个单位得到
C．向左平移个单位得到
D．向右平移个单位得到
答案：C
解析：y＝sin2x＋cos2x
＝sin＝sin2，
y＝sin2x－cos2x＝sin
＝sin2，其中x＋＝－，
∴将y＝sin2x－cos2x的图象向左平移个单位可得y＝sin2x＋cos2x的图象．
9．如果＝，那么等于( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：∵＝＝，∴＝，∴＝.
10．A，B，C，D为平面上四个互异点，且满足(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
答案：B
解析：∵(＋－2)·(－)＝(－＋－)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0，∴||＝||.
11．已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，且x、y为锐角，则tan(x－y)的值是( )
A. B．－
C．± D．±
答案：B
解析：由已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，得
相加得cos(x－y)＝.∵x、y均为锐角且sinx－siny<0，∴－
12．已知向量a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈，若a·b＝，则tan等于( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题意，得cos2α＋sinα(2sinα－1)＝，解得sinα＝，又α∈，所以cosα＝－，
tanα＝－，则tan＝＝.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．设向量a，b满足|a|＝2 ，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．
答案：(－4，－2)
解析：设a＝(x，y)，x<0，y<0，则x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝4，y＝2(舍去)，或者x＝－4，y＝－2，即a＝(－4，－2)．
14．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.
答案：－16
解析：·＝·＝－2＋2＝－×102×32＝－16.
15．化简(tan10°－1)·＝________.
答案：－1
解析：原式＝＝＝＝－1.
16．在△ABC中，C＝，AC＝1，BC＝2，则f(λ)＝|2λ＋(1－λ)|的最小值是________．
答案：
解析：
如图，以C为原点，CA，CB所在直线为y轴，x轴建立直角坐标系，所以＝(0,1)，＝(2,0)，
故2λ＋(1－λ)＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，
所以f(λ)＝2＝
2，故最小值为，在λ＝时取得．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知cosθ＝，θ∈(π，2π)，求sin以及tan的值．
解：∵cosθ＝，θ∈(π，2π)，
∴sinθ＝－，tanθ＝－，
∴sin＝sinθcos－cosθsin
＝－×－×＝－；
tan＝
＝＝.
18．(12分)已知函数f(x)＝2cosx·sin－sin2x＋sinxcosx.将函数f(x)的图象向右平移m个单位，使所得函数为偶函数，求m的最小值．
解：f(x)＝2cosx·sin－sin2x＋sinxcosx
＝2cosx－sin2x＋sinxcosx
＝2sinxcosx＋cos2x＝2sin.
函数f(x)的图象向右平移m个单位后的解析式为g(x)＝2sin
＝2sin，
要使函数g(x)为偶函数，则－2m＋＝kπ＋(k∈Z)．
又m>0，∴当k＝－1时，m取得最小值为π.
19．(12分)当0
∴f(x)≤4.∴f(x)max＝4.
20．(12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝
1－＝.
(2)三角恒等式为：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°·cosα＋sin30°sinα)
＝sin2α＋cos2α＋cosαsinα＋sin2α－
sinα·cosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
21．(12分)已知向量a与b的夹角为π，|a|＝2，|b|＝3，记m＝3a－2b，n＝2a＋kb.
(1)若m⊥n，求实数k的值；
(2)是否存在实数k，使得m∥n？说明理由．
解：(1)由m⊥n得m·n＝0，即(3a－2b)·(2a＋kb)＝0，
整理得：6|a|2－(4－3k)a·b－2k|b|2＝0，
∴27k＝36，∴k＝，∴当k＝时，m⊥n.
(2)若存在实数k，使m∥n，则有m＝λn，
即3a－2b＝λ(2a＋kb)，∴(3－2λ)a＝(2＋kλ)b.
∵由题意可知向量a与b不共线，
∴⇒
即存在实数k＝－，使得m∥n.
22．(12分)已知函数f(x)＝a＋bsin2x＋ccos2x(x∈R)的图象过点A(0,1)，B，且b>0，又f(x)的最大值为2－1.
(1)将f(x)写成含Asin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的形式；
(2)由函数y＝f(x)的图象经过平移是否能得到一个奇函数y＝g(x)的图象？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由．
解：(1)f(x)＝a＋bsin2x＋ccos2x＝a＋sin(2x＋φ)，
由题意，可得
解得
所以f(x)＝－1＋2sin2x＋2cos2x＝2sin－1.
(2)将f(x)的图象向上平移1个单位得到函数f(x)＝2sin的图象，再向右平移个单位得到y＝2sin2x的图象，而函数y＝2sin2x为奇函数，故将f(x)的图象先向上平移1个单位，再向右平移个单位就可以得到奇函数y＝g(x)的图象．