(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知sinα＝，则cos2α的值为( )
A．－B．－C.D.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－4)，若a∥b，则a·b等于( )
A．－10B．－6C．0D．6
3．设cos(α＋π)＝(π<α<)，那么sin(2π－α)的值为( )
A.B.C．－D．－
4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α的值为( )
A．－B.C.D．－
5．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sinD．y＝sin
6．若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin(α＋)等于( )
A．－B.C．－D.
7．若向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)互相垂直，其中x∈R，则|a－b|等于( )
A．－2或0B．2
C．2或2D．2或10
8．函数f(x)＝sin2－sin2是( )
A．周期为π的偶函数B．周期为π的奇函数
C．周期为2π的偶函数D．周期为2π的奇函数
9．把函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位可以得到函数g(x)的图象，则g等于( )
A．－B.C．－1D．1
10．已知向量a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈[－，]，则|a＋b|的取值范围是( )
A．[0，]B．[0，)
C．[1,2]D．[，2]
11．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )
A.B.
C.D.
12．函数f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则tanθ等于( )
A.B．－C.D．－
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,2)，若(a－c)⊥b，则k＝________.
14．已知α为第二象限的角，sinα＝，则tan2α＝________.
15．当0≤x≤1时，不等式sin≥kx成立，则实数k的取值范围是________．
16.如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：
①＋＝2；
②＝2＋2；
③·＝·；
④(·)＝(·)．
其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知0
(1)若a∥b，求tanθ的值；
(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．
19．(12分)如图，以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于P，Q两点，已知点P点的坐标为(－，)．
(1)求的值；
(2)若·＝0，求sin(α＋β)．
20．(12分)已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx，cosx)，函数f(x)＝a·b＋.
(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；
(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．
21．(12分)已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x＝时取得最大值4.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的解析式；
(3)若f(α＋)＝，求sinα.
22．(12分)已知a＝(cosωx，sinωx)，b＝(2cosωx＋sinωx，cosωx)，x∈R，ω>0，记f(x)＝a·b，且该函数的最小正周期是.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．
模块综合检测(B)
答案
1．C [cos2α＝1－2sin2α＝1－2×()2＝.]
2．A [∵a∥b，∴1×(－4)－2x＝0，x＝－2.∴a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，
∴a·b＝(1,2)·(－2，－4)＝－10.]
3．A [∵cos(α＋π)＝－cosα＝，∴cosα＝－，∵π<α<，∴α＝，
∴sin(2π－α)＝－sinα＝－sinπ＝.]
4．A [tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－.]
5．B [∵T＝π，∴ω＝＝2，排除C、D.把x＝分别代入A、B，知B选项函数y＝sin(2x－)取到最大值1，故选B.]
6．A [∵cosα＝－，α是第三象限角．∴sinα＝－，∴sin(α＋)＝(sinα＋cosα)＝－.]
7．D [∵a·b＝2x＋3－x2＝0.∴x1＝－1或x2＝3.a－b＝(－2x－2,2x)．当x＝－1时，a－b＝(0，－2)，|a－b|＝2；当x＝3时，a－b＝(－8,6)，则|a－b|＝10.]
8．B [f(x)＝sin2－sin2＝sin2(x＋)－cos2(＋x)＝－cos＝sin2x.
∴T＝π，且f(－x)＝－f(x)，奇函数．]
9．D [f(x)＝sin(－2x＋)向右平移个单位后，图象对应函数解析式为f(x－)＝sin[－2(x－)＋]＝sin(－2x＋π)＝sin2x.∴g(x)＝sin2x，g()＝sin＝1.]
10．D [|a＋b|＝＝.
∵θ∈[－，]，∴cosθ∈[0,1]．∴|a＋b|∈[，2]．]
11．B [Δ＝|a|2－4a·b＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＝4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉≥0.
∴cos〈a，b〉≤，〈a，b〉∈[0，π]．∴≤〈a，b〉≤π.]
12．D [f(x)＝2[cos(3x－θ)－sin(3x－θ)]＝2cos(3x－θ＋)．
若f(x)为奇函数，则－θ＋＝kπ＋，k∈Z，∴θ＝－kπ－，k∈Z.∴tanθ＝－tan(kπ＋)＝－.]
13．0
解析 ∵a－c＝(3,1)－(k,2)＝(3－k，－1)，(a－c)⊥b，b＝(1,3)，∴(3－k)×1－3＝0，∴k＝0.
14．－
解析 由于α为第二象限的角，且sinα＝，
∴cosα＝－.
∴tanα＝－，
∴tan2α＝＝＝－＝－.
15．k≤1
解析 设t＝，0≤x≤1，
则x＝，0≤t≤，
则sint≥t在0≤t≤上恒成立．
设y＝sint，y＝t，图象如图所示．
需y＝sint在上的图象在函数y＝t的图象的上方，∴·≤1，∴k≤1.
16．①②④
解析 在正六边形ABCDEF中，＋＝＋＝＝2，①正确；
设正六边形的中心为O，则2＋2＝2(＋)＝2＝，②正确；
易知向量和在上的投影不相等，即≠.∴·≠·，③不正确；
∵＝－2，
∴(·)＝(·)⇔(·)＝－2(·)⇔·＝－2·
⇔·(＋2)＝0.∵＋2＝－＝0，∴·(＋2)＝0成立．
从而④正确．
17．解 ∴0
＝lg(sinx＋cosx)2－lg(1＋sin2x)
＝lg(1＋sin2x)－lg(1＋sin2x)＝0.
18．解 (1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.
从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，
于是sin＝－.又由0<θ<π知，<2θ＋<，所以2θ＋＝，或2θ＋＝.因此θ＝，或θ＝.
19．解 (1)由三角函数定义得cosα＝－，sinα＝，
∴原式＝＝＝2cos2α＝2·(－)2＝.
(2)∵·＝0，∴α－β＝，
∴β＝α－，
∴sinβ＝sin(α－)＝－cosα＝，
cosβ＝cos(α－)＝sinα＝.
∴sin (α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋(－)×＝.
20．解 (1)f(x)＝sinxcosx－cos2x＋
＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋
＝sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)．
所以f(x)的最小正周期为π.
令sin(2x－)＝0，得2x－＝kπ，∴x＝＋，k∈Z.
故所求对称中心的坐标为(＋，0)，(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.∴－≤sin(2x－)≤1，即f(x)的值域为[－，1]．
21．解 (1)∵f(x)＝Asin(3x＋φ)，∴T＝，
即f(x)的最小正周期为.
(2)∵当x＝时，f(x)有最大值4，∴A＝4.
∴4＝4sin，∴sin＝1.
即＋φ＝2kπ＋，得φ＝2kπ＋(k∈Z)．
∵0<φ<π，∴φ＝.
∴f(x)＝4sin.
(3)∵f＝4sin＝4sin＝4cos2α.
由f＝，得4cos2α＝，∴cos2α＝，
∴sin2α＝(1－cos2α)＝，
∴sinα＝±.
22．解 (1)f(x)＝a·b＝cosωx·(2cosωx＋sinωx)＋sinωx·cosωx
＝2cos2ωx＋2sinωx·cosωx＝2·＋sin2ωx
＝sin2ωx＋cos2ωx＋1
＝sin(2ωx＋)＋1.
∴f(x)＝sin(2ωx＋)＋1，其中x∈R，ω>0.
∵函数f(x)的最小正周期是，可得＝，
∴ω＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝sin(8x＋)＋1.
当8x＋＝＋2kπ，
即x＝＋(k∈Z)时，sin(8x＋)取得最大值1，
∴函数f(x)的最大值是1＋，此时x的集合为{x|x＝＋，k∈Z}．