第二章 随机变量及其分布
2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1.2 离散型随机变量的分布列
第1课时 离散型随机变量的分布列
A级 基础巩固
一、选择题
1．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是( )
A．25 B．10 C．9 D．5
解析：第一次可取1，2，3，4，5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1，2，3，4，5中的任何一个，两次的号码和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．
答案：C
2．已知10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )
A．取到产品的件数 B．取到正品的概率
C．取到次品的件数 D．取到次品的概率
解析：对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量， B、D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量．
答案：C
3．设离散型随机变量X的概率分布列如下表：
X
1
2
3
4
P
p
则p等于( )
A. B. C. D.
解析：由＋＋＋p＝1，解得p＝＝.
答案：D
4．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m，k＝1，2，3，则m的值为( )
A. B. C. D.
解析：P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，由离散型随机变量的分布列的性质知P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，即＋＋＝1，解得m＝.
答案：B
5．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员．从这10人中任选4人参加某项活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝( )
A. B. C. D.
解析：依题意有P(X＝3)＝＝.
答案：D
二、填空题
6．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a、b、c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝________．
解析：由a＋b＋c＝1及2b＝a＋c，得b＝，所以P(|ξ|＝1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝－1)＝.
答案：
7．设随机变量ξ的可能取值为5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ＞8)＝________．
解析：依题意有P(ξ＞8)＝×8＝.
答案：
8．随机变量η的分布列如下：
η
1
2
3
4
5
6
P
0.2
x
0.35
0.1
0.15
0.2
则x＝________，P(η≤3)＝________．
解析：由分布列的性质得0.2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0.故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.
答案：0 0.55
三、解答题
9．从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，取出的卡片号码数之和为X.求随机变量X的分布列．
解： X可取3，4，5，6，7.其中X＝3表示取出分别标有1，2的2张卡片，P(X＝3)＝＝；
X＝4表示取出分别标有1，3的2张卡片，P(X＝4)＝＝；
X＝5表示取出分别标有1，4或2，3的2张卡片，P(X＝5)＝＝；
X＝6表示取出分别标有2，4的2张卡片，P(X＝6)＝＝；
X＝7表示取出分别标有3，4的2张卡片，P(X＝7)＝＝.
所以变量X的分布列为：
X
3
4
5
6
7
P
10.某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两族人数占各自小区总人数的比例如下：
A小区
低碳族
非低碳族
比例
B小区
低碳族
非低碳族
比例
C小区
低碳族
非低碳族
比例
(1)从A，B，C三个社区中各选一人，求恰好有2人是低碳族的概率；
(2)在B小区中随机选择20户，从中抽取的3户中“非低碳族”数量为X，求X的分布列．
解：(1)记这3人中恰好有2人是低碳族为事件A，P(A)＝××＋××＋××＝.
(2)在B小区中随机选择20户中，“非低碳族”有4户，
P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
B级 能力提升
1．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，则P＝ ( )
A. B. C. D.
解析：由＜ξ＜知ξ＝1，2，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝.所以P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝.
答案：D
2．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，…，n，如果P(ξ＜4)＝0.3，那么n＝________．
解析：由ξ＜4知ξ＝1，2，3时，有P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.3＝，解得n＝10.
答案：10
3．(2015·安徽卷)已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．
解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，
则P(A)＝＝.
(2)X的可能取值为200，300，400.
P(X＝200)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝.
所以，X的分布列为：
X
200
300
400
P