3.1.3 空间向量的数量积运算
课时目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的夹角及距离问题．
1．空间向量的夹角
定义
已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角
记法
范围
,想一想：〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉呢？
2．空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数
量积的结合律
(λa)·b＝________
交换律
a·b＝______
分配律
a·(b＋c)＝____________
(3)数量积的性质
两个向
量数量
积的
性质
①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔__________.
②若a与b同向，则a·b＝________；
若反向，则a·b＝________.
特别地：a·a＝|a|2或|a|＝.
③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝______
④|a·b|≤|a|·|b|.
一、选择题
1．设a、b、c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题：
①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；
②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·a)·c－(c·a)·b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的有( )
A．①②B．②③C．③④ D．②④
2．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于( )
A. B.C. D．4
4.在棱长为1的正四面体ABCD中，E,F分别是BC,AD的中点，则·等于( )
A．0 B. C．－ D．－
5.
如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )
A．6B．6
C．12 D．144
6．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb (λ，μ∈R且λ、μ≠0)，则( )
A．m∥n
B．m⊥n
C．m不平行于n，m也不垂直于n
D．以上三种情况都有可能
二、填空题
7．已知a，b是空间两向量，若|a|＝3，|b|＝2，|a－b|＝，则a与b的夹角为________．
8．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________.
9．在△ABC中，有下列命题：
①－＝；
②＋＋＝0；
③(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；
④若·>0，则△ABC为锐角三角形．
其中正确的是________．(填写正确的序号)
三、解答题
10.
如图，已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC.求证：OA⊥BC.
11．在正四面体ABCD中，棱长为a，M、N分别是棱AB、CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝|ND|，求|MN|.
能力提升
12.平面式O,A.B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于( )
A.
B.
C.
D.
13.
如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长．
1．空间向量数量积直接根据定义计算．
2．利用数量积可以解决两直线夹角问题和线段长度问题：
(1)利用a⊥b⇔a·b＝0证线线垂直(a，b为非零向量)．(2)利用a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，cos θ＝，求两直线的夹角．(3)利用|a|2＝a·a，求解有关线段的长度问题．
3．1.3 空间向量的数量积运算
知识梳理
1．〈a，b〉 [0，π]
2．(2)λ(a·b) b·a a·b＋a·c
(3)①a·b＝0 ②|a|·|b| －|a|·|b|
③
作业设计
1．D [①错；②正确，可以利用三角形法则作出a－b，三角形的两边之差小于第三边；③错，当b·a＝c·b＝0时，(b·a)·c－(c·a)·b与c垂直；④正确，直接利用数量积的运算律．]
2．A [a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|⇔cos〈a，b〉＝1⇔〈a，b〉＝0，当a与b反向时，不能成立．]
3．C [|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2
＝1＋6·cos 60°＋9＝13.∴|a＋3b|＝.]
4．D [·＝(＋)·
＝·＋·－·－||2
＝cos 60°＋cos 60°－cos 60°－＝－.]
5．C [∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝108＋2×6×6×＝144，∴||＝12.]
6．B [由题意m⊥a，m⊥b，则有m·a＝0，m·b＝0，
m·n＝m(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0，
∴m⊥n.]
7．60°
解析 由|a－b|＝，得(a－b)2＝7，
即|a|2－2a·b＋|b|2＝7，∴2a·b＝6，
∴|a||b|cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，b〉＝，〈a，b〉＝60°.即a与b的夹角为60°.
8.
解析 |a＋b|＝
＝＝.
9．②③
解析 ①错，－＝；②正确；③正确，||＝||；④错，△ABC不一定是锐角三角形．
10．证明 ∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
∴△OAC≌△OAB.∴∠AOC＝∠AOB.
∵·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos∠AOC－||||·cos∠AOB＝0，∴OA⊥BC.
11．解
如图所示，||＝||＝||＝a，把题中所用到的量都用向量、、表示，于是＝＋＋
＝＋(－)＋(－)＝－＋＋.
又·＝·＝·
＝||2cos 60°＝||2＝a2，
∴·＝·
＝2－·－·＋·＋2＋2＝a2－a2＋a2＋a2＝a2.
故||＝＝a，即|MN|＝a.
12.
C [如图所示，
S△OAB＝|a||b|·sin〈a，b〉
＝|a||b|
＝|a||b|
＝|a||b|
＝.]
13.
解 由AC⊥α，可知AC⊥AB，
过点D作DD1⊥α，D1为垂足，
连结BD1，则∠DBD1为BD与α所成的角，即∠DBD1＝30°，
∴∠BDD1＝60°，
∵AC⊥α，DD1⊥α，∴AC∥DD1，
∴〈，〉＝60°，∴〈，〉＝120°.
又＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴·＝0，·＝0.
故||2＝||2＋||2＋||2＋2·
＝242＋72＋242＋2×24×24×cos 120°＝625，
∴||＝25.