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[学业达标]
一、选择题
1．(2016·人大附中月考)焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【解析】 由题意知2b＝8，得b＝4，所以b2＝a2－c2＝16，又e＝＝，解得c＝3，a＝5，又焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1，故选C.
【答案】 C
2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题意知a＝2c，∴e＝＝＝.
【答案】 A
3．曲线＋＝1与＋＝1(0
B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点
D．以上都不对
【解析】 曲线＋＝1的焦距为2c＝8，而曲线＋＝1(0＜k＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.
【答案】 B
4．已知O是坐标原点，F是椭圆＋＝1的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，则cos∠MON的值为( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 由题意，a2＝4，b2＝3，
故c＝＝＝1.
不妨设M(1，y0)，N(1，－y0)，所以＋＝1，
解得y0＝±，
所以|MN|＝3，|OM|＝|ON|＝＝.
由余弦定理知cos∠MON＝＝＝－.
【答案】 B
5．如图224，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为( )
图224
A. B.
C. D.
【答案】 D
二、填空题
6．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为________. 【导学号：18490048】
【解析】 如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝＝＝.
【答案】
7．设AB是椭圆＋＝1的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则kAB·kOM＝________．
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点坐标M，得kAB＝，
kOM＝，kAB·kOM＝，
b2x＋a2y＝a2b2，b2x＋a2y＝a2b2，
得b2(x－x)＋a2(y－y)＝0，即＝－.
【答案】 －
8．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________．
【解析】 因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2.
【答案】 [1，2]
三、解答题
9．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6，0)，(6，0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．
【解】 (1)∵c＝＝，
∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)．
设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵e＝＝，c＝，
∴a＝5，b2＝a2－c2＝20，
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵2c＝8，∴c＝4，
又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.
∴椭圆的方程为＋＝1.
10．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)与x轴交于点A，以OA为边作等腰三角形OAP，其顶点P在椭圆上，且∠OPA＝120°，求椭圆的离心率．
【解】 不妨设A(a，0)，点P在第一象限内，由题意知，点P的横坐标是，设P，由点P在椭圆上，得＋＝1，y2＝b2，即P，又∠OPA＝120°，所以∠POA＝30°，故tan∠POA＝＝，所以a＝3b，所以e＝＝＝＝.
[能力提升]
1．(2016·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
A. B.－1
C．2－ D.
【解析】 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意得|PF2|＝＝2c，
即＝2c，
得离心率e＝－1，故选B.
【答案】 B
2．“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 椭圆＋＝1的离心率为，
当0
即“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的充分不必要条件．
【答案】 A
3．(2016·济南历城高二期末)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是________．
【解析】 由＝2，得|AO|＝2|FO|(O为坐标原点)，即a＝2c，
则离心率e＝.
【答案】
4．已知点A，B分别是椭圆＋＝1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标； 【导学号：18490049】
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
【解】 (1)由已知可得A(－6，0)，B(6，0)，F(4，0)，
设点P的坐标是(x，y)，
则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．
由已知得
则2x2＋9x－18＝0，解得x＝或x＝－6.
由于y>0，所以只能取x＝，于是y＝.
所以点P的坐标是.
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设点M的坐标是(m，0)，
则M到直线AP的距离是，又B(6，0)，
于是＝|m－6|，
又－6≤m≤6，解得m＝2，
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2
＝＋15，
由于－6≤x≤6，所以当x＝时，d取最小值为.