班级____ 姓名____ 考号____ 分数____
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．设A(1,2)，B(－2,5)，则||＝( )
A. B.
C．3 D．4
答案：C
解析：＝(－2,5)－(1,2)＝(－3,3)，∴||＝＝3 .
2．如果函数f(x)＝sin(2πx＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T，且当x＝1时取得最大值，那么( )
A．T＝1，θ＝ B．T＝1，θ＝π
C．T＝2，θ＝π D．T＝2，θ＝
答案：A
解析：T＝＝1，sin(2π＋θ)＝1，θ＝.
3．已知sin(α－π)＝，且α∈，则tanα等于( )
A. B．－
C. D．－
答案：B
解析：sin(α－π)＝－sinα＝，∴sinα＝－，cosα＝，∴tanα＝－＝－.
4．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为( )
A．3 B．－3
C．1 D．－1
答案：B
解析：由角α的终边落在第三象限得sinα<0，cosα<0，
故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.
5．已知平面内三点A(－1,0)，B(5,6)，P(3,4)，且＝λ，则λ的值为( )
A．3 B．2
C. D.
答案：B
解析：因为＝λ，所以(4,4)＝λ(2,2)，所以λ＝2.
6．已知sinα－cosα＝，则tanα＋等于( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由sinα－cosα＝可得(sinα－cosα)2＝，即1－2sinαcosα＝，sinαcosα＝，则tanα＋＝＋＝＝.
7．将函数y＝f(x)的图象沿x轴向右平移个单位长度，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y＝sinx的图象相同，则y＝f(x)是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
答案：C
解析：将y＝sinx的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，得到y＝sin2x的图象，再沿x轴向左平移个单位，得到y＝sin2＝sin的图象．
8．设i、j是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的单位向量，且＝8i＋4j，＝6i＋8j，则△ABC的面积等于( )
A．60 B．40
C．28 D．20
答案：D
解析：＝－＝－2i＋4j，所以⊥.
所以S△ABC＝||·||＝·＝20.
9．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜，x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为( )
A．y＝－4sin
B．y＝4sin
C．y＝－4sin
D．y＝4sin
答案：A
解析：先确定A＝－4，由x＝－2和6时y＝0可得T＝16，ω＝，φ＝.
10．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案：C
解析：本题主要考查三角函数的图象与性质．函数f(x)＝2sin的图象与直线y＝2的两个相邻交点就是函数f(x)的两个最大值点，周期为π＝，ω＝2，于是f(x)＝2sin.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得，kπ－≤x≤kπ＋，故选C.
11．设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”，a×b是一个向量，它的模等于|a×b|＝|a||b|sinθ，若a＝(1，)，b＝(－，－1)，则|a×b|＝( )
A. B．2
C．2 D．4
答案：B
解析：∵cosθ＝＝＝－，又θ∈[0，π]，∴sinθ＝＝，|a×b|＝|a|·|b|sinθ＝2.
12．已知a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是( )
A．λ< B．λ≤
C．λ≤且λ≠－ D．λ<且λ≠－
答案：D
解析：由题可知a·b＝－3λ＋10>0，λ<，当a与b共线，且方向相同时，设a＝(λ，2)＝μ(－3,5)(μ>0)，∴得λ＝－，∴λ的取值范围是λ<且λ≠－.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4(a，b，α，β是常数)，且f(2009)＝5，则f(2010)＝________.
答案：3
解析：f(2009)＝αsin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋4＝－(asinα＋bcosβ)＋4＝5
∴asinα＋bcosβ＝－1.f(2010)＝asinα＋bcosβ＋4＝3.
14．已知a＝(2,1)b＝(1，λ)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．
答案：∪
解析：若a与b的夹角为锐角，则cosθ>0且cosθ≠1.cosθ＝＝∴λ>－2.
又2＋λ≠·∴λ≠∴λ的范围是λ>－2且λ≠.
15．函数f(x)＝2sin(x∈R)，f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值等于，则正数ω的值为________．
答案：1
解析：由f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值等于可知＝，T＝2π，∴ω＝1.
16．如图，在正方形ABCD中，已知||＝2，若N为正方形内(含边界)任意一点，则·的最大值是________．
答案：4
解析：∵·＝||||·cos∠BAN，||·cos∠BAN表示在方向上的投影，又||＝2，·的最大值是4.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知sin(α＋π)＝，且sinα·cosα＜0，求：的值．
解：∵sin(α＋π)＝
∴sinα＝－＜0.
∴cos2α＝1－sin2α＝1－＝
又sinα·cosα＜0
∴cosα＞0.∴cosα＝.
原式＝
＝
＝
＝＝－.
18．(12分)已知f(x)＝sin－tanα·cosx，且f＝.
(1)求tanα的值；
(2)求函数g(x)＝f(x)＋cosx的对称轴与对称中心．
解：(1)∵f＝sin－tanα·cos＝1－tanα＝，∴tanα＝1.
(2)g(x)＝f(x)＋cosx＝sin－cosx＋cosx＝sin.
∴x＋＝kπ＋，即对称轴：x＝kπ＋，k∈Z
∴x＋＝kπ，即对称中心：，k∈Z.
19．(12分)设两个向量a，b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；
(2)若 |a|＝2，|b|＝3，a、b的夹角为60°，求使向量ka＋b与a＋kb垂直的实数k.
解：(1)＝＋＋＝a＋b＋2a＋8b＋3(a－b)＝6(a＋b)＝6，
∴与共线，即A、B、D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb垂直，
∴(ka＋b)·(a＋kb)＝0，ka2＋(k2＋1)a·b＋kb2＝0，
ka2＋(k2＋1)|a||b|·cos60°＋kb2＝0，
3k2＋13k＋3＝0，
解得：k＝.
20．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数在区间[－2,4]上的最大值和最小值以及对应的x的值．
解：(1)由题可知A＝，＝6－(－2)＝8，∴T＝16，
∴ω＝＝，则f(x)＝sin.
又图象过点(2，)，代入函数表达式可得φ＝2kπ＋(k∈Z)．
又|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝sin.
(2)∵x∈[－2,4]，∴x＋∈，
当x＋＝，即x＝2时，f(x)max＝；
当x＋＝0，即x＝－2时，f(x)min＝0.
21．(12分)已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，
求：(1)t为何值时，P在第二象限？
(2)四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的值，若不能，请说明理由．
解：(1)∵＝＋t＝(3t＋1,3t＋2)，
∴当－
∵＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)，
∴使，共线，则3－3t－(6－6t)＝0，解得t＝1，此时＝(0,0)，∴四边形OABP不能构成平行四边形．
22．(12分)已知函数f(x)＝2sin＋1.
(1)当x＝π时，求f(x)值；
(2)若存在区间[a，b](a，b∈R且a
(2)f(x)＝0⇒sin＝－⇒x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z，
即f(x)的零点相离间隔依次为和，
故若y＝f(x)在[a，b]上至少含有6个零点，则b－a的最小值为2×＋3×＝.