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课时提升作业(七)
全称量词 存在量词
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题4分，共12分)
1.下列命题为特称命题的是 ( )
A.偶函数的图象关于y轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.不相交的两条直线是平行直线
D.存在大于或等于3的实数
【解析】选D.选项A，B，C都是全称命题，选项D含有存在量词，是特称命题.
2.(2015·兰州高二检测)将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称命题是 ( )
A.∃a0，b0∈R，++2a0b0=(a0+b0)2
B.∃a0<0，b0>0，++2a0b0=(a0+b0)2
C.∀a>0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2
D.∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2
【解析】选D.由于所给的等式对∀a，b∈R均成立，故选D.
3.下列命题既是全称命题又是真命题的个数是 ( )
①所有的素数都是偶数；
②∀x∈R，(x-1)2+1≥1；
③有的无理数的平方还是无理数.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.命题②既是全称命题又是真命题；
命题③是特称命题又是真命题；
命题①是假命题.
二、填空题(每小题4分，共8分)
4.下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________.
①正方形的四条边相等；
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数.
【解析】根据所含的量词可判断出①②③为全称命题，④为特称命题.
答案：①②③ ④
5.(2015·苏州高二检测)已知命题p：“∀x∈，a≥ex”，命题q：“∃x0∈R，+4x0+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是____________.
【解析】由命题“p∧q”是真命题得命题p，q都是真命题.
因为x∈，所以ex∈，
所以a≥e；∃x0∈R，+4x0+a=0，
即方程x2+4x+a=0有实数解，
所以Δ=42-4a≥0，解得a≤4，取交集得a∈.
答案：
【延伸探究】本题条件“若命题p∧q是真命题”改为“若命题p∧q是假命题”，其他条件不变，则实数a的取值范围是________.
【解析】若命题p∧q是假命题，则有三种情形：p真q假，p假q真， p假q假，直接求解比较复杂，可求原题结果的补集即得，的补集是(-∞，e)∪
(4，+∞).
答案：(-∞，e)∪(4，+∞)
三、解答题
6.(10分)若∀x∈R，函数f(x)=m(x2-1)+x-a有零点，求实数a的取值范围.
【解析】(1)当m=0时，f(x)=x-a与x轴相交，函数有零点.
(2)当m≠0时，f(x)=m(x2-1)+x-a有零点的充要条件是Δ=1+4m(m+a)=
4m2+4am+1≥0恒成立，
又因为4m2+4am+1≥0是一个关于m的二次不等式，
此不等式恒成立的充要条件是Δ′=(4a)2-16≤0，
解得-1≤a≤1.
综上，当m=0时，a∈R；
当m≠0时，a∈.
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.( 2015·长沙高二检测)已知a>0，函数f(x)=ax2+bx+c，若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是 ( )
A.∃x0∈R，f(x)≤f(x0)
B.∃x0∈R，f(x)≥f(x0)
C.∀x∈R，f(x)≤f(x0)
D.∀x∈R，f(x)≥f(x0)
【解析】选C.f(x)=ax2+bx+c=a+(a>0)，
因为2ax0+b=0，所以x0=-.
当x=x0时，函数f(x)取得最小值，
所以∀x∈R，f(x)≥f(x0).
从而A，B，D为真命题，C为假命题.
2.(2014·新课标全国卷Ⅰ)不等式组的解集记为D，有下面四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x+2y≥-2；
p2：∃(x0，y0)∈D，x0+2y0≥2；
p3：∀(x，y)∈D，x+2y≤3；
p4：∃(x0，y0)∈D，x0+2y0≤-1.
其中的真命题是 ( )
A.p2，p3 B.p1，p4 C.p1，p2 D.p1，p3
【解析】选C.作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)所示.
由得交点
A(2，-1).目标函数的斜率k=->-1，观察直线x+y=1与直线x+2y=0的倾斜程度，可知u=x+2y过点A时取得最小值0.
结合题意知p1，p2正确.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.已知命题p：∀x∈R， x2-x+<0，命题q：∃x0∈R，sinx0+cosx0=，则p∨q，p∧q，p，q中是真命题的有________.
【解题指南】先判断p，q的真假，再判断p∨q，p∧q，p，q的真假.
【解析】因为x2-x+=≥0，故p是假命题，所以p为真命题，而存在x0=使sinx0+cosx0=，故q是真命题，q为假命题，因此p∨q为真命题，
p∧q为假命题.
答案：p∨q，p
4.(2015·杭州高二检测)设集合A={(x，y)|(x-4)2+y2=1}，B={(x，y)|(x-t)2+(y-at+2)2=1}，如果命题“∃t0∈R，A∩B≠”是真命题，则实数a的取值范围是________.
【解析】因为A={(x，y)|(x-4)2+y2=1}，表示平面直角坐标系中以M(4，0)为圆心，半径为1的圆，
B={(x，y)|(x-t)2+ (y-at+2)2=1}，表示以N(t，at-2)为圆心，半径为1的圆，且其圆心N在直线ax-y-2=0上，如图.
如果命题“∃t0∈R，A∩B≠”是真命题，即两圆有公共点，则圆心M到直线ax-y-2=0的距离不大于2，
即≤2，解得0≤a≤.
所以实数a的取值范围是0≤a≤.
答案：
【补偿训练】已知命题p：“∃m0∈R，使关于x的方程x2+m0x+1=0有两个不等负实根”是真命题，则实数m0的取值范围是____________.
【解析】由题意解得m0>2.
答案：m0>2
三、解答题
5.(10分)(2015·长春高二检测)已知命题p：“∀x∈，x2-a≥0”，命题q：“∃x0∈R，+2ax0+2-a=0”，若命题“p且q”为假命题，“p或q”是真命题，求实数a的取值范围.
【解析】由命题p为真可知，x2≥a对x∈恒成立，
所以a≤1，
由命题q为真可知Δ=4a2-4(2-a)=4(a2+a-2)≥0，
所以a≥1或a≤-2.
因为p且q是假命题，p或q是真命题，
所以有p为真，q为假，或者p为假，q为真，
即或
解得-2
所以a的取值范围为(-2，1)∪(1，+∞).
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