学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无穷多条 D．不存在
【解析】 由定义，知|AB|＝5＋2＝7，因为|AB|min＝4，所以这样的直线有且仅有两条．
【答案】 B
2．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2 B．2
C．2 D．2
【解析】 设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，则x1＋x2＝4，x1x2＝1，|AB|＝＝＝2.故选B.
【答案】 B
3．(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
【解析】 由y2＝x得2p＝1，即p＝，因此焦点F，准线方程为l：x＝－，设A点到准线的距离为d，由抛物线的定义可知d＝|AF|，从而x0＋＝x0，解得x0＝1，故选A.
【答案】 A
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B两点在抛物线上，得y＝2px1，①
y＝2px2，②
由①－②，得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)．又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1＋y2＝4，直线AB的斜率为1，故2p＝4，p＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－＝－1.
【答案】 B
5．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若O·A＝－4，则点A的坐标为( ) 【导学号：26160061】
A．(2，±2) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2)
【解析】 设A(x，y)，则y2＝4x，①
O＝(x，y)，A＝(1－x，－y)，O·A＝x－x2－y2＝－4，②
由①②可解得x＝1，y＝±2.
【答案】 B
二、填空题
6．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________．
【解析】 可判断直线y＝x＋4与抛物线y2＝4x相离，
设y＝x＋m与抛物线y2＝4x相切，
则由消去x得y2－4y＋4m＝0.
∴Δ＝16－16m＝0，m＝1.
又y＝x＋4与y＝x＋1的距离d＝＝，
则所求的最小距离为.
【答案】
7．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．
【解析】 设AB的方程为x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，
∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，
当m＝0时，y＋y最小为32.
【答案】 32
8．过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________.
【解析】 设过抛物线焦点的直线为y＝k，
联立得
整理得k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，
x1＋x2＝，x1x2＝.
|AB|＝x1＋x2＋1＝＋1＝，得k2＝24，
代入k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0
得12x2－13x＋3＝0，
解之得x1＝，x2＝，又|AF|＜|BF|，
故|AF|＝x1＋＝.
【答案】
三、解答题
9．求过定点P(0,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．
【解】 如图所示，若直线的斜率不存在，
则过点P(0,1)的直线方程为x＝0，
由得
即直线x＝0与抛物线只有一个公共点．
若直线的斜率存在，
则设直线为y＝kx＋1，代入y2＝2x得：
k2x2＋(2k－2)x＋1＝0，
当k＝0时，直线方程为y＝1，与抛物线只有一个交点．
当k≠0时，Δ＝(2k－2)2－4k2＝0⇒k＝.此时，直线方程为y＝x＋1.
可知，y＝1或y＝x＋1为所求的直线方程．
故所求的直线方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1.
10．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
【解】 由题意，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，
焦点F，直线l：x＝，
∴A，B两点坐标为，，
∴|AB|＝2|p|.
∵△OAB的面积为4，
∴··2|p|＝4，∴p＝±2.
∴抛物线方程为y2＝±4x.
[能力提升]
1．(2014·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )
A. B．6
C．12 D．7
【解析】 ∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，
∴F，
∴AB的方程为y－0＝tan 30°，
即y＝x－.
联立得x2－x＋＝0.
∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝.
由于|AB|＝xA＋xB＋p，所以|AB|＝＋＝12.
【答案】 C
2．已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，O为原点，若||＝||，且抛物线的焦点恰好为△AOB的垂心，则直线AB的方程是( )
A．x＝p B．x＝p
C．x＝p D．x＝3p
【解析】 ∵||＝|O|，
∴A，B关于x轴对称．
设A(x0，)，B(x0，－)．
∵AF⊥OB，F，
∴·＝－1，
∴x0＝p.
【答案】 C
3．(2014·湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．
【解析】 由题意知机器人行进轨迹为以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，其方程为y2＝4x.设过点(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)．代入y2＝4x，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.∵机器人接触不到该直线，∴Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，∴k2>1.∴k>1或k<－1.
【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
4．已知直线l：y＝x＋，抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设A，B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若O·O＝0(O为原点，A，B异于原点)，试求点N的轨迹方程. 【导学号：26160062】
【解】 (1)直线l：y＝x＋.①
过原点且垂直于l的直线方程为y＝－2x.②
由①②，得x＝－.
∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，
∴－＝－×2，∴p＝2.
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x，y)．
由O·O＝0，得x1x2＋y1y2＝0.
又y＝4x1，y＝4x2，
解得y1y2＝－16.③
直线ON：y＝x，即y＝x.④
由③④及y＝y1，得点N的轨迹方程为x＝－4(y≠0)．