3.1 函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点
课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．
1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系
函数图象
判别式
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
与x轴交点个数
____个
____个
____个
方程的根
____个
____个
无解
2.函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把________________叫做函数y＝f(x)的零点．
3．方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0__________⇔函数y＝f(x)的图象______________⇔函数y＝f(x)__________．
4．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内________，即存在c∈(a，b)，使得__________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
一、选择题
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是( )
A．0个B．1个
C．2个D．无法确定
2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
D．若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
3．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．0，－B．0，
C．0,2D．2，－
4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
5．函数f(x)＝零点的个数为( )
A．0B．1
C．2D．3
6．已知函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则实数b的取值范围是( )
A．(－∞，0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2，＋∞)
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．
8．函数f(x)＝lnx－x＋2的零点个数为________．
9．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________．
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
三、解答题
10．证明：方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．
11．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
能力提升
12．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x的
解的个数是( )
A．1B．2
C．3D．4
13．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．
1．方程的根与方程所对应函数的零点的关系
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．
(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．
2．并不是所有的函数都有零点，如函数y＝.
3．对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然当它通过零点时函数值没有变号．
第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点
知识梳理
1．2 1 0 2 1 2.使f(x)＝0的实数x 3.有实数根 与x轴有交点 有零点 4.连续不断 f(a)·f(b)<0 有零点 f(c)＝0
作业设计
1．C [方程ax2＋bx＋c＝0中，∵ac<0，∴a≠0，
∴Δ＝b2－4ac>0，
即方程ax2＋bx＋c＝0有2个不同实数根，
则对应函数的零点个数为2个．]
2．C [对于选项A，可能存在根；
对于选项B，必存在但不一定唯一；
选项D显然不成立．]
3．A [∵a≠0,2a＋b＝0，
∴b≠0，＝－.
令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.]
4．C [∵f(x)＝ex＋x－2，
f(0)＝e0－2＝－1<0，
f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，
∴f(0)·f(1)<0，
∴f(x)在区间(0,1)上存在零点．]
5．C [x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3.
x>0时，f(x)＝lnx－2在(0，＋∞)上递增，
f(1)＝－2<0，f(e3)＝1>0，∵f(1)f(e3)<0
∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
总之，f(x)在R上有2个零点．]
6．A [设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则由f(0)＝0可得d＝0，f(x)＝x(ax2＋bx＋c)＝ax(x－1)(x－2)⇒b＝－3a，又由x∈(0,1)时f(x)>0，可得a>0，∴b<0.]
7．3 0
解析 ∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.
8．2
解析 该函数零点的个数就是函数y＝lnx与y＝x－2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y＝lnx与y＝x－2的图象如下图：
由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f(x)＝lnx－x＋2有2个零点．
9．1
解析 设f(x)＝e2－(x＋2)，由题意知f(－1)<0，f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k＝1.
10．证明 设f(x)＝x4－4x－2，其图象是连续曲线．
因为f(－1)＝3>0，f(0)＝－2<0，f(2)＝6>0.
所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．
从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．
11．解 令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.
依题意得或，
即或，解得－
∴f(x)＝
当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，
即x2＋3x＋2＝0，
∴x＝－1或x＝－2；
当x>0时，方程为x＝2，
∴方程f(x)＝x有3个解．]
13．解 设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1.
∵方程f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，
∴，即
∴