课时训练8 等差数列的性质
一、等差数列性质的应用
1.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=( )
A.12 B.16 C.20 D.24
答案:B
2.等差数列{an}中,若a2+a4 024=4,则a2 013=( )
A.2 B.4 C.6 D.-2
答案:A
解析:2a2013=a2+a4024=4,∴a2013=2.
3.在等差数列{an}中,a3+3a8+a13=120,则a3+a13-a8等于( )
A.24 B.22 C.20 D.-8
答案:A
解析:根据等差数列的性质可知a3+a13=2a8,所以已知等式可变为2a8+3a8=120,解得a8=24,所以a3+a13-a8=2a8-a8=a8=24.
4.如果等差数列{an}中,a1=2,a3=6,则数列{2an-3}是公差为 的等差数列.
答案:4
解析:设数列{an}的公差为d,则a3-a1=2d=4,
∴d=2.∴数列{2an-3}的公差为4.
5.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6= .
答案:13
解析:设等差数列{an}的公差为d.
∵a5=a2+6,∴a5-a2=6,即3d=6,d=2.
∴a6=a3+3d=7+3×2=13.
6.(2015河南郑州高二期末,14)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a= .
答案:
解析:由等差数列的性质可得2b=2+9,解得b=.
又可得2a=2+b=2+,解得a=,
同理可得2c=9+,解得c=,
故c-a=.
二、等差数列的综合应用
7.已知等差数列{an}中,a7=,则tan(a6+a7+a8)等于( )
A.- B.- C.-1 D.1
答案:C
解析:在等差数列中,a6+a7+a8=3a7=,
∴tan(a6+a7+a8)=tan=-1.
8.已知数列{an}是等差数列,a4=15,a7=27,则过点P(3,a3),Q(5,a5)的直线斜率为( )
A.4 B. C.-4 D.-
答案:A
解析:由数列{an}是等差数列,知an是关于n的一次函数,其图象是一条直线上的等间隔的点(n,an),因此过点P(3,a3),Q(5,a5)的直线斜率即过点(4,15),(7,27)的直线斜率,所以直线的斜率k==4.
9.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=90,则a10-a14的值为( )
A.12 B.14 C.16 D.18
答案:A
解析:由等差数列的性质及a4+a6+a8+a10+a12=90得5a8=90,即a1+7d=18,∴a10-a14=a1+9d-(a1+13d)=(a1+7d)=×18=12,故选A.
10.数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数.
(1)当a2=-1时,求λ与a3的值;
(2)数列{an}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,请说明理由.
解:(1)由条件得a2=(2-λ)a1,又a1=1,a2=-1,所以λ=3,从而a3=(22+2-3)a2=-3.
(2)假设数列{an}是等差数列,由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an得a2=2-λ,
a3=(6-λ)(2-λ),
a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).
由假设知2a2=a1+a3,
即2(2-λ)=1+(6-λ)(2-λ),解得λ=3,
于是a2=-1,a3=-3,a4=-27,所以a2-a1=-2,而a4-a3=-24,与数列{an}是等差数列矛盾,故数列{an}不可能是等差数列.
(建议用时:30分钟)
1.已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案:C
解析:由等差数列性质得a2+a8=2a5=12,所以a5=6.
2.在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则3a9-a11的值为( )
A.6 B.12 C.24 D.48
答案:D
解析:∵a1+a15=2a8,∴a1+3a8+a15=5a8.
∴5a8=120,a8=24.
而3a9-a11=3(a8+d)-(a8+3d)=2a8=48.
∴选D.
3.若数列{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则ap+q为( )
A.p+q B.0 C.-(p+q) D.
答案:B
解析:公差d==-1,∴ap+q=ap+(p+q-p)d=q+q×(-1)=0.
4.由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,an,…组成一个数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…,下列说法正确的是( )
A.该新数列不是等差数列
B.是公差为d的等差数列
C.是公差为2d的等差数列
D.是公差为3d的等差数列
答案:C
解析:∵(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,
∴数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列.
5.已知{an}为等差数列,若a1+a5+a9=8π,则cos(a3+a7)的值为( )
A. B.- C. D.-
答案:D
解析:∵{an}为等差数列,a1+a5+a9=8π,
∴a5=π,cos(a3+a7)=cos(2a5)=cosπ=-.
6.等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d= .
答案:-6
解析:由题知d==-6.
7.在等差数列{an}中,已知a8+m=10,a8-m=6,其中m∈N*,且1≤m≤7,则a8= .
答案:8
解析:∵a8+m+a8-m=2a8,∴a8=8.
8.如果有穷数列a1,a2,…,am(m为正整数)满足条件:a1=am,a2=am-1,…,am=a1,则称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{cn}中,c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,c2= .
答案:19
解析:因为c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,又{cn}为21项的对称数列,所以c2=c20=c11+9d=1+9×2=19.
9.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.
解:∵a1+a7=2a4,∴a1+a4+a7=3a4=15.∴a4=5.
又∵a2a4a6=45,∴a2a6=9.
即(a4-2d)(a4+2d)=9,
即(5-2d)(5+2d)=9,解得d=±2.
若d=2,an=a4+(n-4)d=2n-3;
若d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n.
10.已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
解:解法一:因为{an}为等差数列,
∴a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,设其公差为d,a15为首项,则a60为其第4项,∴a60=a15+3d,得d=4.
∴a75=a60+d=20+4=24.
解法二:设{an}的公差为d,因为a15=a1+14d,a60=a1+59d,
∴解得
故a75=a1+74d=+74×=24.