高中数学必修5配套练习 应用举例 第1课时

第一章　1.2　第1课时
一、选择题
1．某次测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的(　　)
A．北偏西35°　　　　　　 B．北偏东55°
C．南偏西35° D．南偏西55°
[答案]　D
[解析]　根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．α＝55°，则β＝α＝55°.所以B在A的南偏西55°.故应选D．
2．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)
A．a km　　　　　　　　 B．a km
C．a km D．2a km
[答案]　B
[解析]　∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理可得AB＝a(km)．
3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时(　　)
A．5n mlie B．5n mlie
C．10n mlie D．10n mlie
[答案]　C
[解析]　如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，
∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，
在Rt△ABC中，求得AB＝5，
∴这艘船的速度是＝10(n mlie/h)．
4．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300m和500m，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C正西方向，则两灯塔A、B间的距离为(　　)
A．500m B．600m
C．700m D．800m
[答案]　C
[解析]　根据题意画出图形如图．
在△ABC中，BC＝500，AC＝300，∠ACB＝120°，
由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°
＝3002＋5002－2×300×500×(－)
＝490 000，∴AB＝700(m)．
5．已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为(　　)
A．10km B．km
C．10km D．10km
[答案]　D
[解析]　在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，则由余弦定理，得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝100＋400－2×10×20cos120°
＝100＋400－2×10×20×(－)＝700，
∴AC＝10，即A、C两地的距离为10km.
6．要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A、B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120m由此可得河宽为(精确到1m)(　　)
A．170m B．98m
C．95m D．86m
[答案]　C
[解析]　在△ABC中，AB＝120，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝60°，由正弦定理，得BC＝＝40.
设△ABC中，AB边上的高为h，则h即为河宽，
∴h＝BC·sin∠CBA＝40×sin75°≈95(m)
二、填空题
7．如图所示，为了测量河的宽度BC，最适宜测量的两个数据是________．
[答案]　AC与∠A．
[解析]　由图可知，AB与BC不能直接测量．
8．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是______ km.(精确到0.1 km)
[答案]　5.2
[解析]　作出示意图如图．由题意知，
则AB＝24×＝6，∠ASB＝35°，由正弦定理＝，可得BS≈5.2(km)．
三、解答题
9．如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6 000 m．∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)
[分析]　由于∠ADC＝75°，∠BDC＝15°，∴∠ADB为直角．题中有多个三角形而抓住△ABD为Rt△作为突破口可简化计算．
[解析]　在△ACD中，∠CAD＝60°，AD＝＝CD．
在△BCD中，∠CBD＝135°，BD＝＝CD，
∠ADB＝90°.
在Rt△ABD中，AB＝＝CD
＝1 000(m)．
10．一艘船以32.2n mile/h的速度向正北航行．在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？
[解析]　在△ASB中，∠SBA＝115°，∠S＝45°.由正弦定理，得SB＝＝≈7.787(n mile)．设点S到直线AB的距离为h，则h＝SBsin65°≈7.06(n mile)．
∵h>6.5n mile，∴此船可以继续沿正北方向航行.
一、选择题
1．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为km，则A、B两船的距离为(　　)
A．2km B．3km
C．km　 D．km
[答案]　D
[解析]　如图可知∠ACB＝85°＋(90°－25°)＝150°，
AC＝2，BC＝，
∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos150°＝13，
∴AB＝.
2．甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15min时，两船的距离是(　　)
A．km　　　　　　 B．km
C．km　 D．km
[答案]　B
[解析]　由题意知AM＝8×＝2，BN＝12×＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BNcos120°＝1＋9－2×1×3×(－)＝13，所以MN＝km.
3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(　　)
A．n mile/h B．34n mile/h
C．n mile/h D．34n mile/h
[答案]　A
[解析]　如图所示，在△PMN中，＝，
∴MN＝＝34，∴v＝＝(n mile/h)．
4．如图，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船的位置，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行 h到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是(　　)
A．10km B．10km
C．15km D．15km
[答案]　B
[解析]　在△ABC中，BC＝40×＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，
则A＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得
AC＝＝＝10(km)．
二、填空题
5．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90n mile.此时海盗船距观测站10n mile,20min后测得海盗船距观测站20n mlie，再过________min，海盗船到达商船．
[答案]　
[解析]　如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A、B、C处，20min后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝10，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得
cos∠ADC＝＝＝.
∴∠ADC＝60°，在△ABD中，由已知得∠ABD＝30°，
∠BAD＝60°－30°＝30°，
∴BD＝AD＝20，×60＝(min)．
6.如图，一艘船上午800在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午830到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距4n mile，则此船的航行速度是________n mile/h.
[答案]　16
[解析]　在△ABS中，∠A＝30°，∠ABS＝105°，
∴∠ASB＝45°，
∵BS＝4，＝，
∴AB＝＝＝8，
∵上午800在A地，830在B地，
∴航行0.5小时的路程为8n mile，
∴此船的航速为16n mile/h.
三、解答题
7．海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为12n mile；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8n mile；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B的方位角为120°.求：
(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处之间的距离．
[解析]　由题意，画出示意图，如图所示．
(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，则B＝45°.
由正弦定理，得
AD＝＝24(n mile)
(2)在△ADC中，由余弦定理，得
CD2＝AD2＋AC2－2AD×ACcos30°
＝242＋(8)2－2×24×8×＝(8)2，
∴CD＝8(n mile)
答：A处与D处之间距离为24n mile，灯塔C与D处之间的距离为8n mile.
8．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量，已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值．
[解析]　由题意可得DE2＝502＋1202＝1302，
DF2＝1702＋302＝29800，
EF2＝1202＋902＝1502，
由余弦定理，得cos∠DEF＝.