课时跟踪检测(十一) 平行射影 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线
一、选择题
1．一条直线在一个面上的平行投影是( )
A．一条直线 B．一个点
C．一条直线或一个点 D．不能确定
解析：选C 当直线与面垂直时，平行投影可能是点．
2．△ABC的一边在平面α内，一顶点在平面α外，则△ABC在面α内的射影是( )
A．三角形 B．一直线
C．三角形或一直线 D．以上均不正确
解析：选D 当△ABC所在平面平行于投影线时，射影是一线段，不平行时，射影是三角形．
3．下列说法不正确的是( )
A．圆柱面的母线与轴线平行
B．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面
C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关
D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径
解析：选D 显然A正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B正确，C显然正确，D中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确．
4．设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为120°，当圆锥的截面与轴成45°角时，则截得二次曲线的离心率为( )
A. B.
C．1 D.
解析：选B 由题意知α＝60°，β＝45°，满足β<α，这时截圆锥得的交线是双曲线，其离心率为e＝＝.
二、填空题
5．用平面截球面和圆柱面所得到的截线形状分别是________、________.
解析：联想立体图形及课本方法，可得结论．要注意平面截圆柱面所得的截线的不同情况．
答案：圆 圆或椭圆
6．有下列说法：
①矩形的平行射影一定是矩形；
②梯形的平行射影一定是梯形；
③平行四边形的平行射影可能是正方形；
④正方形的平行射影一定是菱形；
其中正确命题是________．(填上所有正确说法的序号)
解析：利用平行射影的概念和性质进行判断．
答案：③
7．在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13.若作一个平面与这两个球面相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为________．
解析：如图，为圆柱的轴截面，AB为与两球O1和球O2都相切的平面与轴截面的交线，
由对称性知AB过圆柱的几何中心O.
由O1O⊥OD，O1C⊥OA，
故∠OO1C＝∠AOD，且O1C＝OD＝6，
所以Rt△OO1C≌Rt△AOD，
则AO＝O1O.
故AB＝2AO＝2O1O＝O1O2＝13.
显然AB即为椭圆的长轴，
所以椭圆的长轴长13.
答案：13
三、解答题
8．△ABC是边长为2的正三角形，BC∥平面α，A，B，C在α的同侧，它们在α内的射影分别为A′，B′，C′，若△A′B′C′为直角三角形，BC与α间的距离为5，求A到α的距离．
解：由条件可知A′B′＝A′C′，
∴∠B′A′C′＝90°.
设AA′＝x，在直角梯形AA′C′C中，
A′C′2＝4－(5－x)2，
由A′B′2＋A′C′2＝B′C′2，
得2×[4－(x－5)2]＝4，x＝5±.
即A到α的距离为5±.
9．若圆柱的一正截面的截线为以3为半径的圆，圆柱的斜截面与轴线成60°，求截线椭圆的两个焦点间的距离．
解：设椭圆长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，
则b＝3，
a＝＝3×2＝6，
∴c2＝a2－b2＝62－32＝27.
∴两焦点间距离2c＝2＝6.
10.如图所示，圆锥侧面展开图扇形的中心角为π，AB，CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么圆锥曲线．
解：设⊙O的半径为R，母线VA＝l，
则侧面展开图的中心角为＝π，
∴圆锥的半顶角α＝.
连接OE，∵O，E分别是AB，VB的中点，
∴OE∥VA，
∴∠VOE＝∠AVO＝.
又∵AB⊥CD，VO⊥CD，
∴CD⊥平面VAB.
∴平面CDE⊥平面VAB.
即平面VAB为截面CDE的轴面，
∴∠VOE为截面与轴线所夹的角，即为.
又∵圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，
故截面CDE与圆锥的截线为一抛物线．