课时跟踪检测(十) 与圆有关的比例线段
一、选择题
1．在半径为12 cm的圆中，垂直平分半径的弦的长为( )
A．3 cm B．27 cm C．12 cm D．6 cm
解析：选C
法一：如图所示，OA＝12，CD为OA的垂直平分线，连接OD.
在Rt△POD中，
PD＝＝＝6，
∴CD＝2PD＝12(cm)．
法二：如图，延长AO交⊙O于M，
由相交弦定理得PA·PM＝PC·PD.
又∵CD为线段OA的垂直平分线，
∴PD2＝PA·PM.
又∵PA＝6，PM＝6＋12＝18，
∴PD2＝6×18.
∴PD＝6.
∴CD＝2PD＝12(cm)．
2．如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是( )
A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CD
C．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE
解析：选A 因为∠1＝60°，∠2＝65°，
所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°，
所以∠2>∠1>∠ABC，
所以AB>BC>AC.
因为CA，CD分别切圆O1于A，D两点，
CB，CE分别切圆O2于B，E两点，
所以AC＝CD，BC＝CE，
所以AB>CE>CD.
3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( )
A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·AB
C．AD·AB＝CD2 D．CE·EB＝CD2
解析：选A 在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.
4.如图，已知PT切⊙O于点T，TC是⊙O的直径，割线PBA交TC于点D，交⊙O于B，A(B在PD上)，DA＝3，DB＝4，DC＝2，则PB等于( )
A．20 B．10
C．5 D．8
解析：选A ∵DA＝3，DB＝4，DC＝2，
∴由相交弦定理得DB·DA＝DC·DT，
即DT＝＝＝6.
∵TC为⊙O的直径，所以PT⊥DT.
设PB＝x，
则在Rt△PDT中，
PT2＝PD2－DT2＝(4＋x)2－36.
由切割线定理得PT2＝PB·PA＝x(x＋7)，
∴(4＋x)2－36＝x(x＋7)，
解得x＝20，即PB＝20.
二、填空题
5．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，AM＝4，BM＝9，则弦CD的长为________．
解析：根据相交弦定理，AM·BM＝2，
所以＝6，CD＝12.
答案：12
6.如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.
解析：因为直线PB是圆的切线，所以∠PBA＝∠C.
又因为∠PBA＝∠DBA，所以∠DBA＝∠C.
又因为∠A＝∠A，所以△ABD∽△ACB，
所以＝，所以AB＝＝.
答案：
7．如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝，∠OAP＝30°，则CP＝________.
解析：∵点P为弦AB的中点，
∴OP⊥AB.
∵∠OAP＝30°，OA＝a，
∴PA＝a，PB＝a.
由相交弦定理，得PA·PB＝PD·CP.
∴CP＝＝＝a.
答案：a
三、解答题
8.如图，已知PA，PB，DE分别切⊙O于A，B，C三点，PO＝13 cm，⊙O半径r＝5 cm.
求△PDE的周长．
解：∵PA，PB，DE分别切⊙O于A，B，C三点，
∴DA＝DC，EB＝EC.
∴△PDE的周长为
PA＋PB＝2PA.
连接OA，则OA⊥PA.
∴PA＝＝＝12(cm)．
∴△PDE的周长为24 cm.
9．如图，BC是半圆的直径，O是圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AD⊥BC于点D.
(1)若∠B＝30°，AB与AP是否相等？请说明理由；
(2)求证：PD·PO＝PC·PB；
(3)若BD∶DC＝4∶1，且BC＝10，求PC的长．
解：(1)相等．
连接AO，如图所示．
∵PA是半圆的切线，
∴∠OAP＝90°.
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB.
∴∠AOD＝2∠B＝60°.
∴∠APO＝30°.
∴∠B＝∠APO.∴AB＝AP.
(2)证明：在Rt△OAP中，
∵AD⊥OP，∴PA2＝PD·PO.
∵PA是半圆的切线，
∴PA2＝PC·PB.
∴PD·PO＝PC·PB.
(3)∵BD∶DC＝4∶1，且BC＝10，
∴BD＝8，CD＝2.∴OD＝3.
∵OA2＝OD·OP，∴25＝3×OP.
∴OP＝.
∴PC＝－5＝.
10.如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F.AD，BE相交于点G，连接BD.
(1)求BD的长；
(2)求∠ABE＋2∠D的度数；
(3)求的值．
解：(1)连接OC，因为AB是小圆的切线，C是切点，
所以OC⊥AB，
所以C是AB的中点．
因为AD是大圆的直径，
所以O是AD的中点．
所以OC是△ABD的中位线．
所以BD＝2OC＝10.
(2)连接AE.
由(1)知C是AB的中点．
同理F是BE的中点．
即AB＝2BC，BE＝2BF，
由切线长定理得BC＝BF.
所以BA＝BE.
所以∠BAE＝∠E.
因为∠E＝∠D，
所以∠ABE＋2∠D＝∠ABE＋∠E＋∠BAE＝180°.
(3)连接BO，在Rt△OCB中，
因为OB＝13，OC＝5，
所以BC＝12，AB＝24.
由(2)知∠OBG＝∠OBC＝∠OAC.
因为∠BGO＝∠AGB，
所以△BGO∽△AGB.
所以＝＝.