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1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是 ( )
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x0,使≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x0,使>2
【解析】选B.A是全称命题;B中x0=0时,=0,所以B既是特称命题又是真命题;C中因为+(-)=0,所以C是假命题;D中对于任一个负数x,都有<0,所以D是假命题.
2.下列命题是真命题的是 ( )
A.a>b是ac2>bc2的充要条件
B.a>1,b>1是ab>1的充分条件
C.∀x∈R,2x>x2
D.∃x0∈R,<0
【解析】选B.对于选项A,若c=0,由a>b得到ac2=bc2,故不正确;对于选项B,由于a>1,b>1是ab>1的充分条件,成立;对于选项C,由于x=2,2x=x2,因此错误;对于选项D,由于>0恒成立,故可知D错误.
3.下列四个命题中真命题是 ( )
p1:∀x∈(0,+∞),≥
p2:∀x∈(0,1),lox≤lox
p3:∃x0∈(0,+∞),≤lox0
p4:∃x0∈,≥lox0
A.p1,p3 B.p1,p4
C.p2,p3 D.p2,p4
【解析】选A.因为命题p2中,应该是∀x∈(0,1),logx>logx
命题p4中,∃x0∈,≥logx0,不存在满足不等式的x0,错误.
4.命题p:∃x0∈R,使>x0;命题q:∀x∈,0
A.p∧(¬q) B.(¬p)∨(¬q)
C.p∨(¬q) D.(¬p)∧q
【解析】选C.当x0=0时,20>0,即命题p为真命题.∀x∈,0
(1)所有实数x都能使x2+x+1>0成立.
(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解.
(3)一定有整数x0,y0,使得3x0-2y0=10成立.
(4)所有的有理数x都能使x2+x+1是有理数.
【解析】(1)∀x∈R,x2+x+1>0;真命题.
(2)∀a,b∈R,ax+b=0恰有一解;假命题.
(3)∃x0,y0∈Z,3x0-2y0=10;真命题.
(4)∀x∈Q,x2+x+1是有理数;真命题.
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