一、对基本不等式的理解及简单应用
1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )
A.a+b≥2
B.
C.≥2
D.a2+b2>2ab
答案:C
解析:因为ab>0,所以>0,>0,
即≥2=2,所以选C.
2.设0
解析:0
其中正确的是 (写出序号即可).
答案:②
解析:当x>0时,x+≥2;当x<0时,x+≤-2,①不正确;
∵x与同号,∴=|x|+≥2,②正确;
当x,y异号时,③不正确;
当x=y时,=xy,④不正确;
当x=1,y=-1时,⑤不正确.故填②.
二、利用基本不等式求最值
4.(2015河南郑州高二期末,8)已知a>0,b>0,且2是2a与b的等差中项,则的最小值为( )
A. B. C.2 D.4
答案:B
解析:∵2是2a与b的等差中项,∴2a+b=4.
又∵a>0,b>0,
∴2ab≤=4,当且仅当2a=b=2,即a=1,b=2时取等号.
∴.故选B.
5.(2015福建厦门高二期末,8)已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值等于( )
A.7 B.8 C.9 D.10
答案:C
解析:∵a>0,b>0,不等式恒成立,
∴m≤.
∵(2a+b)=5+≥5+2×2=9,当且仅当a=b时取等号.
∴m的最大值等于9.故选C.
6.设x>0,则y=3-3x-的最 值为 .
答案:大 3-2
解析:∵x>0,∴3x+≥2.
∴-≤-2.
∴y=3-3x-≤3-2.
∴y有最大值3-2,当且仅当3x=时,即当x=时等号成立.
7.(2015河北邯郸三校联考,15)设x,y满足x+4y=40且x>0,y>0,则lg x+lg y的最大值是 .
答案:2
解析:因为x,y满足x+4y=40且x>0,y>0,
所以lgx+lgy=lg(xy)=lg(x·4y)-lg4
≤lg-lg4=lg400-lg4=2.
当且仅当x=4y,即x=20,y=5时,等号成立.
8.设常数a>0,若9x+≥a+1对一切正实数x成立,则a的取值范围为 .
答案:
解析:∵x>0,a>0,∴9x+≥6a,当且仅当9x=,即x=时取等号.
从而由原不等式对x>0恒成立得6a≥a+1,
∴a≥.
三、利用基本不等式解决实际问题
9.(2015江西吉安联考,20)新余到吉安相距120 km,汽车从新余匀速行驶到吉安,速度不超过120 km/h,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分两部分组成:可变部分与速度v(km/h)的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a元.
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数;并求出当a=50,b=时,汽车应以多大速度行驶,才能使得全程运输成本最小;
(2)随着汽车的折旧,运输成本会发生一些变化,那么当a=,b=,此时汽车的速度应调整为多大,才会使得运输成本最小.
解:(1)由题意知,汽车从新余匀速到吉安所用时间为,
全程成本为y=(bv2+a)·=120,v∈(0,120].
当a=50,b=时,y=120≥240·=120(当且仅当v=100时取等号).
所以汽车应以100km/h的速度行驶,能使得全程运输成本最小.
(2)当a=,b=时,y=120,
由双勾函数的单调性可知v=120时,y有最小值.
所以汽车应以120km/h的速度行驶,才能使得全程运输成本最小.
(建议用时:30分钟)
1.已知0
A. B. C. D.
答案:A
解析:∵0
则x(3-3x)=3[x(1-x)]≤3×,
当且仅当x=1-x,即x=时取等号.
2.下列结论正确的是( )
A.当x>0且x≠1时,lg x+≥2
B.当x>0时,≥2
C.当x≥2时,x+的最小值为2
D.0
解析:选项A,当x∈(0,1)时,lgx<0,不满足基本不等式恒为正数的要求;
选项B中满足“一正、二定、三相等”的条件,是正确选项;
选项C,当x>0时,x+≥2,等号成立的条件为x=1,当x≥2时,x+(利用函数单调性处理);
对于D,设f(x)=x-,则f'(x)=1+>0,函数为增函数,因而最大值为.
3.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( )
A. B. C.5 D.6
答案:C
解析:∵x+3y=5xy,∴=1.
∴3x+4y=(3x+4y)+2=5.
当且仅当,即x=2y时等号成立.
4.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a
解析:v=.
因为-a==0,所以>a,即v>a.故选A.
5.已知函数y=x-4+(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b=( )
A.-3 B.2 C.3 D.8
答案:C
解析:y=x-4+=x+1+-5,
因为x>-1,所以x+1>0,>0.
所以由均值不等式得y=x+1+-5≥2-5=1,
当且仅当x+1=,即(x+1)2=9,
所以x+1=3,x=2时取等号,
所以a=2,b=1,a+b=3,选C.
6.函数y=loga(x-1)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在一次函数y=mx+n的图象上,其中m,n>0,则的最小值为 .
答案:8
解析:由题意,得点A(2,1),则1=2m+n,又m,n>0,
所以=4+≥4+2=8.
当且仅当,即m=,n=时取等号,
则的最小值为8.
7.已知x>0,则的最大值为 .
答案:
解析:因为,又x>0时,x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时取等号,所以0<,即的最大值为.
8.建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,则水池的最低总造价为 元.
答案:1 760
解析:设池底的长和宽分别为a,b,则2ab=8,ab=4,总造价y=(2a+2b)×2×80+120ab=320(a+b)+480≥320×2+480=1760(当且仅当a=b=2m时取等号).
9.设a,b,c都是正数,求证:.
证明:∵a,b,c都是正数,
∴.
同理可证.
三式相加得,
当且仅当a=b=c时取等号.
10.(如图)某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室,温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?
解:设矩形的一边长为xm,则另一边长为m,因此种植蔬菜的区域宽为(x-4)m,长为m.
由得4
=808-
≤808-2=808-160
=648(m2).
当且仅当2x=,即x=40∈(4,400)时等号成立.
因此当矩形温室的两边长为40m,20m时蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是648m2.