一、不等式性质的直接应用与判断
1.若<0,则下列结论不正确的是( )
A.a2
答案:D
解析:由<0可知,b
A.a2>b2 B. C. D.a3>b3
答案:D
解析:A.虽然-1>-2,但(-1)2>(-2)2不成立;
B.虽然3>-2,但是不成立;
C.虽然2>-3,但是不成立;
D.∵a>b,∴a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0.
成立.
综上可知,只有D正确.故选D.
3.已知下列说法:
①若a
其中正确的有 .
答案:①③④
解析:对于①,由a
对于②,当a=b时,c可以为负数,故②错误;
对于③,当a>b>0时,得0<,
又c<0,∴,故③正确;
对于④,当0
∴loga(1+a)>loga,故④正确.
二、利用不等式的性质比大小
4.(2015山东威海高二期中,2)不等式:①a2+2>2a;②a2+b2≥2(a-b-1);③a2+b2≥ab恒成立的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:D
解析:①a2+2-2a=(a-1)2+1≥1,∴a2+2>2a,正确;
②∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
∴a2+b2≥2(a-b-1),正确;
③a2+b2-ab=b2≥0,当且仅当a=b=0时取等号,正确.
综上可得:①②③都恒成立.故选D.
5.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是( )
A.A≤B B.A≥B
C.A
答案:B
解析:∵A-B=a2+3ab-4ab+b2=a2-ab+b2=b2≥0,
∴A≥B.
6.(2015河南郑州高二期末,16)现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v1,下山的速度为v2(v1≠v2),乙上山和下山的速度都是(甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回),则甲、乙两人上下山所用的时间t1,t2的大小关系为 .
答案:t1>t2
解析:由题意知,甲用的时间t1==S·,
乙用的时间t2=2×.
∵t1-t2=S·
=S=S>0.∴t1>t2.
7.已知a,b,x,y均为正实数,且,x>y,试判断的大小关系.
解:因为,
又且a>0,b>0,所以b>a>0.
又x>y>0,所以bx>ay,即bx-ay>0.
又x+a>0,y+b>0,
所以>0,即.
三、利用不等式的性质求代数式范围
8.设x,y为实数,满足3≤xy2≤8,4≤≤9,则的最大值是 .
答案:27
解析:∵4≤≤9,∴16≤≤81.①
∵3≤xy2≤8,∴.②
由①②可得2≤≤27,即2≤≤27.
∴的最大值为27.
9.已知1
解:(1)因为1
10.已知a>b>0,c
思路分析:解答本题可先比较的大小,进而判断.
证明:∵c
又a>b>0,∴->->0.
∴,即->-.
两边同乘以-1,得.
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1.若a,b∈R,且a>b,则( )
A.a2>b2 B.<1
C.lg(a-b)>0 D.
答案:D
解析:∵a>b,无法保证a2>b2,<1和lg(a-b)>0,
∴排除A与B,C,故选D.
2.如果a
答案:D
解析:当a=-2,b=-1时,检验得A,B,C错误,故D正确.
3.若a>b>c,则下列不等式成立的是( )
A. B.
C.ac>bc D.ac
解析:∵a>b>c,∴a-c>b-c>0.
∴.
故选B.
4.下列结论正确的是( )
A.若a>b>0,a>c,则a2>bc
B.若a>b>c,则
C.若a>b,n∈N*,则an>bn
D.a>b>0,则ln a
解析:对于B,当c<0时,不成立,对于C,当a=1,b=-2,n=2时,an>bn不成立.
对于D,由对数函数性质得不正确,故选A.
5.若α,β满足-<α<β<,则2α-β的取值范围是( )
A.-π<2α-β<0 B.-π<2α-β<π
C.-<2α-β< D.0<2α-β<π
答案:C
解析:∵-<α<,∴-π<2α<π.
又-<β<,∴-<-β<.
∴-<2α-β<.
又α-β<0,α<,∴2α-β<.
故-<2α-β<.
6.若实数a≠b,则a2-ab ba-b2(填不等号).
答案:>
解析:(a2-ab)-(ba-b2)=a2-ab-ba+b2=(a-b)2,
∵a≠b,∴(a-b)2>0.
∴a2-ab>ba-b2.
7.已知2b
解析:∵2b
8.若m
∴
又m
解:设两次价格分别为a元、b元,
则甲的平均价格为m=元,
乙的平均价格为n=,
∴m-n=>0.
∴乙更合算.
10.已知函数f(x)=ax2-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.
解:因为f(x)=ax2-c,所以
即
解得
所以f(3)=9a-c=f(2)-f(1).
又因为-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,
所以≤-f(1)≤,-f(2)≤,
所以-1≤f(2)-f(1)≤20,
即-1≤f(3)≤20.