2.2.1 综合法和分析法
[学习目标]
1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．
2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．
[知识链接]
1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”
2．必修五中基本不等式≥(a>0，b>0)是怎样证明的？
答 要证≥，
只需证a＋b≥2，
只需证a＋b－2≥0，
只需证(－)2≥0，
因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
[预习导引]
1．综合法
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
2．分析法
分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．
要点一 综合法的应用
例1 在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．
证明 由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C. ①
因为A、B、C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π. ②
由①②，得B＝. ③
由a、b、c成等比数列，有b2＝ac.④
由余弦定理及③，
可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.
再由④，得a2＋c2－ac＝ac，
即(a－c)2＝0，因此a＝c，
从而有A＝C.⑤
由②③⑤，得A＝B＝C＝.所以△ABC为等边三角形．
规律方法 利用综合法证明问题的步骤：
(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．
(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．
跟踪演练1 已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.
证明 法一 ∵a，b是正数且a＋b＝1，
∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4.
法二 ∵a，b是正数，∴a＋b≥2>0，
＋≥2>0，
∴(a＋b)≥4.
又a＋b＝1，∴＋≥4.
法三 ＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．
要点二 分析法的应用
例2 设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．
证明 当a＋b≤0时，∵≥0，
∴≥(a＋b)成立．
当a＋b>0时，用分析法证明如下：
要证≥(a＋b)，
只需证()2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
∴≥(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
规律方法 用分析法证明不等式时应注意
(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；
(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．
跟踪演练2 已知a，b是正实数，求证：＋≥＋.
证明 要证＋≥＋，
只要证a＋b≥·(＋)．
即证(a＋b－)(＋)≥(＋)，
因为a，b是正实数，
即证a＋b－≥，
也就是要证a＋b≥2，
即(－)2≥0.
该式显然成立，所以＋≥＋.
要点三 综合法和分析法的综合应用
例3 已知a、b、c是不全相等的正数，且0
logx＋logx＋logx
由公式≥>0，≥>0，≥>0，
又∵a，b，c是不全相等的正数，
∴··>＝abc.
即··>abc成立．
∴logx＋logx＋logx
跟踪演练3 设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，试证：＋＝2.
证明 由已知条件得b2＝ac， ①
2x＝a＋b,2y＝b＋c. ②
要证＋＝2，只要证ay＋cx＝2xy，
只要证2ay＋2cx＝4xy.
由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，
4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，
所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证．
1．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么( )
A．x<
解析 ∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝，x＝，
则＝，2xy＝，∴x<2xy<
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
答案 C
解析 根据不等式性质，a>b>0时，才有a2>b2，
∴只需证：＋<＋，
只需证：(＋)2<(＋)2.
3．求证：＋＋<2.
证明 因为＝logab，所以左边
＝log195＋2log193＋3log192
＝log195＋log1932＋log1923＝log19(5×32×23)＝log19360.
因为log19360
4．已知＝1，求证：cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)．
证明 要证cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)，
只需证＝3，只需证＝3，
只需证1－tanα＝3(1＋tanα)，只需证tanα＝－，
∵＝1，∴1－tanα＝2＋tanα，
即2tanα＝－1.∴tanα＝－显然成立，
∴结论得证．
1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．
2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．
3．在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却恰恰相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.
一、基础达标
1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( )
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若>，则a>b
C．若a3>b3且ab<0，则>
D．若a2>b2且ab>0，则<
答案 C
解析 对于A：若c＝0，则A不成立，故A错；对于B：若c<0，则B不成立，B错；对于C：若a3>b3且ab<0，则，所以>，故C对；对于D：若，则D不成立．
2．A、B为△ABC的内角，A>B是sinA>sinB的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
答案 C
解析 由正弦定理＝，又A、B为三角形的内角，∴sinA>0，sinB>0，∴sinA>sinB⇔2RsinA>2RsinB⇔a>b⇔A>B.
3．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 若l⊥α，m⊂β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；
若l⊥α，m⊂β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；
若l⊥α，m⊂β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确；
若l⊥α，m⊂β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．
4．设a，b∈R＋，且a≠b，a＋b＝2，则必有( )
A．1≤ab≤ B．ab<1<
C．ab<<1 D．
解析 因为a≠b，故>ab.
又因为a＋b＝2>2，
故ab<1，＝＝2－ab>1，即>1>ab.
5．要证明＋<2，可选择的方法有很多，最合理的应为________．
答案 分析法
6．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．
答案 a>c>b
解析 ∵a2－c2＝2－(8－4)＝4－6＝－>0，∴a>c.∵＝＝＞1，∴c＞b.
7．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
证明 法一 3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．
因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，
所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
法二 要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，
只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0，∵a≥b>0.∴a－b≥0,3a2－2b2>2a2－2b2≥0，
∴上式成立．
二、能力提升
8．设0
C．c D．不能确定
答案 C
解析 ∵b－c＝(1＋x)－＝＝－<0，
∴b
A．ab>0 B．ab<0
C．a>0，b<0 D．a>0，b>0
答案 C
解析 ∵与同号，由＋≤－2，知<0，<0，
即ab<0.又若ab<0，则<0，<0.
∴＋＝－≤
－2＝－2，
综上，ab<0是＋≤－2成立的充要条件，
∴a>0，b<0是＋≤－2成立的一个充分而不必要条件．
10．
如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．
答案 对角线互相垂直
解析 本题答案不唯一，要证A1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C1即可．
11．已知a＞0，b＞0，－＞1.求证：＞.
证明 要证＞成立，
只需证1＋a＞，
只需证(1＋a)(1－b)＞1(1－b＞0)，即1－b＋a－ab＞1，
∴a－b＞ab，只需证：＞1，即－＞1.
由已知a＞0，－＞1成立，
∴＞成立．
12．求证抛物线y2＝2px(p＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切．
证明
如图，作AA′、BB′垂直准线，取AB的中点M，作MM′垂直准线．要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|＝|AB|，
由抛物线的定义：|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，
所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|，
因此只需证|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)
根据梯形的中位线定理可知上式是成立的．
所以以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切．
三、探究与创新
13．(2013·广东)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.
(1)求a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋＜.
(1)解 当n＝1时，＝2a1＝a2－－1－＝2，解得a2＝4.
(2)解 2Sn＝nan＋1－n3－n2－n ①
当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1) ②
①－②得2an＝nan＋1－(n－1)an－n2－n
整理得nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，即＝＋1，－＝1，当n＝1时，－＝2－1＝1.
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
所以＝n，即an＝n2.
所以数列{an}的通项公式为an＝n2，n∈N*.
(3)证明 因为＝＜＝－(n≥2)，
所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－＜.