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课时提升作业(十九)
导数的几何意义
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.曲线y=x3-3x在点(2,2)的切线斜率是 ( )
A.9 B.6 C.-3 D.-1
【解析】选A.Δy=(2+Δx)3-3(2+Δx)-23+6=9Δx+6(Δx)2+(Δx)3,
=9+6Δx+(Δx)2,
=(9+6Δx+(Δx)2)=9,
由导数的几何意义可知,曲线y=x3-3x在点(2,2)处的切线斜率是9.
2.曲线f(x)=3x+x2在点(1,f(1))处的切线方程为 ( )
A.y=5x-1 B.y=-5x+1
C.y=x+1 D.y=-x-1
【解析】选A.k==5.
f(1)=4.由点斜式得y-4=5(x-1),即y=5x-1.
3.下面说法正确的是 ( )
A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线
B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)必存在
C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在
D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f′(x0)有可能存在
【解析】选C.f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率,当切线垂直于x轴时,切线的斜率不存在,但存在切线.
【补偿训练】曲线y=x3-2在点处切线的倾斜角为 ( )
A.30° B.45° C.135° D.60°
【解析】选B.Δy=(-1+Δx)3-2-×(-1)3+2=Δx-(Δx)2+(Δx)3,
=1-Δx+(Δx)2,
==1,
所以曲线y=x3-2在点处切线的斜率是1,倾斜角为45°.
4.(2015·武汉高二检测)已知曲线y=在点P(1,4)处的切线与直线l平行且距离为,则直线l的方程为 ( )
A.4x-y+9=0
B.4x-y+9=0或4x-y+25=0
C.4x+y+9=0或4x+y-25=0
D.以上均不对
【解析】选C.y′==-4,所以k=-4,所以切线方程为y-4=-4(x-1),即4x+y-8=0,
设l:4x+y+c=0(c≠-8),由题意=,
所以c=9或-25.
5.(2015·丽水高二检测)已知曲线y=x2-2上一点P,则在点P处的切线的倾斜角为 ( )
A.30° B.45° C.135° D.150°
【解析】选B.在点P处的切线的斜率k=f′(1)
==
===1.
设切线的倾斜角为α,则tanα=1,
又0°≤α≤180°,所以α=45°.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.若抛物线y=x2与直线2x+y+m=0相切,则m=________.
【解析】设切点为P(x0,y0),易知,y′=2x.
由得即P(-1,1).
又P(-1,1)在直线2x+y+m=0上,
故2×(-1)+1+m=0,即m=1.
答案:1
7.曲线y=x2-3x的一条切线的斜率为1,则切点坐标为________.
【解析】设f(x)=y=x2-3x,切点坐标为(x0,y0),
f′(x0)===2x0-3=1,
故x0=2,y0=-3x0=4-6=-2,故切点坐标为(2,-2).
答案:(2,-2)
8.(2015·惠州高二检测)如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=________.
【解析】因为点P在切线上,所以f(5)=-5+8=3,
又因为f′(5)=k=-1,
所以f(5)+f′(5)=3-1=2.
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.在曲线E:y=x2上求出满足下列条件的点P的坐标.
(1)在点P处与曲线E相切的直线平行于直线y=4x-5.
(2)在点P处与曲线E相切的直线与x轴成135°的倾斜角.
【解析】f′(x)=
==2x,设P(x0,y0)为所求的点.
(1)因为切线与直线y=4x-5平行,所以2x0=4,x0=2,y0=4,即P(2,4).
(2)因为切线与x轴成135°的倾斜角,所以其斜率为-1,即2x0=-1,得x0=-,
即y0=,即P.
10.(2015·天水高二检测)已知曲线C:y=经过点P(2,-1),求
(1)曲线在点P处的切线的斜率.
(2)曲线在点P处的切线的方程.
(3)过点O(0,0)的曲线C的切线方程.
【解析】(1)将P(2,-1)代入y=中得t=1,
所以y=.所以===,
所以=,
所以曲线在点P(2,-1)处切线的斜率为k==1.
(2)曲线在点P处的切线方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.
(3)因为点O(0,0)不在曲线C上,设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点M(x0,y0),则切线斜率k==,
由于y0=,所以x0=,所以切点M,切线斜率k=4,切线方程为y-2=4,即y=4x.
【补偿训练】试求过点P(1,-3)且与曲线y=x2相切的直线的斜率.
【解析】设切点坐标为(x0,y0),则有y0=.
因为y′=了==2x.
所以k=2x0.
所以切线方程为y-=2x0(x-x0),
将点(1,-3)代入,得:-3-=2x0-2,
所以-2x0-3=0,所以x0=-1或x0=3.
当x0=-1时,k=-2;当x0=3时,k=6.
所以所求直线的斜率为-2或6.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.设f(x)为可导函数且满足=-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为( )
A.2 B.-1 C.1 D.-2
【解析】选B.
==
=f′(1)=-1.
【补偿训练】(2015·聊城高二检测)设函数f(x)满足=-1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率是 ( )
A.2 B.-1 C. D.-2
【解析】选B.因为==f′(1)=k=-1,所以y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率是-1.
2.(2015·贵阳高二检测)已知函数y=f(x)的图象如图,f′(xA)与f′(xB)的大小关系是 ( )
A.0>f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA)
D.f′(xA)>f′(xB)>0
【解析】选B.f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,故
f′(xA)
是( )
A.f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA)=f′(xB)
C.f′(xA)
【解析】选A.由y=f(x)的图象可知,kA>kB,根据导数的几何意义有:f′(xA)>
f′(xB).
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.函数y=f(x)=在x=1处的切线方程为________.
【解析】f(1)==1,f′(1)====-1,
则切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
答案:x+y-2=0
4.(2015·南京高二检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x),
f′(0)>0,对于任意实数x,有f(x)≥0,则的最小值为________.
【解题指南】由导数的定义,先求出f′(0)的值,从而求出的表达式,再利用“对于任意实数x,有f(x)≥0”这一条件,借助不等式的知识即可求解.
【解析】由导数的定义,得f′(0)==
==b.
又因为对于任意实数x,有f(x)≥0,
则所以ac≥,所以c>0.
所以=≥≥=2.
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.直线l:y=x+a(a≠0)和曲线C:y=x3-x2+1相切.
(1)求切点的坐标.
(2)求a的值.
【解析】(1)设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0)点,则
f′(x)=
=
=3x2-2x.
由题意知,k=1,即3-2x0=1,解得x0=-或x0=1.
于是切点的坐标为或(1,1).
(2)当切点为时,=-+a,a=;
当切点为(1,1)时,1=1+a,a=0(舍去).
所以a的值为.
【补偿训练】设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求a的值.
【解析】因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
=(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1-(+a-9x0-1)
=(3+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3,
所以=3+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2.
当Δx无限趋近于零时,无限趋近于3+2ax0-9,即f′(x0)=3+2ax0-9,
所以f′(x0)=3-9-.
当x0=-时,f′(x0)取最小值-9-.因为斜率最小的切线与12x+y=6平行,所以该切线斜率为-12,所以-9-=-12.
解得a=±3.又a<0,所以a=-3.
6.(2015·厦门高二检测)试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.
【解析】=
==3xΔx+3x2+Δx2.
=3x2,因此y′=3x2,设过(1,1)点的切线与y=x3+1相切于点P(x0,+1),据导数的几何意义,函数在点P处的切线的斜率为k=3 ①,
过(1,1)点的切线的斜率k= ②,
所以3=,解得x0=0或x0=,所以k=0或k=,因此y=x3+1过点M(1,1)的切线方程有两个,分别为y-1=(x-1)和y=1,即27x-4y-23=0或y=1.
【误区警示】本题易错将点(1,1)当成了曲线y=x3+1上的点.因此在求过某点的切线时,一定要先判断点是否在曲线上,再据不同情况求解.
【补偿训练】若抛物线y=4x2上的点P到直线y=4x-5的距离最短,求点P的坐标.
【解题指南】抛物线上到直线y=4x-5的距离最短的点,是平移该直线与抛物线相切时的切点.解答本题可先求导函数,再求P点的坐标.
【解析】由点P到直线y=4x-5的距离最短知,过点P的切线方程与直线y=4x-5平行.
设P(x0,y0),则y′===
=(8x+4Δx)=8x,
由得
故所求的P点坐标为.
【拓展延伸】求最值问题的两种方法
(1)目标函数法:通过设变量构造目标函数,利用函数求最值.
(2)数形结合法:根据问题的几何意义,利用图形的特殊位置求最值.
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