【创新设计】2016-2017学年高中数学 第二章 推理与证明章末复习课 新人教版选修2-2
题型一 合情推理与演绎推理
1.归纳和类比都是合情推理,前者是由特殊到一般,部分到整体的推理,后者是由特殊到特殊的推理,但二者都能由已知推测未知,都能用于猜想,推理的结论不一定为真,有待进一步证明.
2.演绎推理与合情推理不同,它是由一般到特殊的推理,是数学中证明的基本推理形式,也是公理化体系所采用的推理形式.另一方面,合情推理与演绎推理又是相辅相成的,前者是后者的前提,后者论证前者的可靠性.
例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组:第一组含一个数{1};第二组含两个数{3,5};第三组含三个数{7,9,11};第四组含四个数{13,15,17,19};…试观察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为________.
(2)在平面几何中,对于Rt△ABC,AC⊥BC,设AB=c,AC=b,BC=a,则
①a2+b2=c2;
②cos2A+cos2B=1;
③Rt△ABC的外接圆半径为r=.
把上面的结论类比到空间写出相类似的结论;如果你能证明,写出证明过程;如果在直角三角形中你还发现了异于上面的结论,试试看能否类比到空间?
(1)答案 f(n)=n3
解析 由于1=13,3+5=8=23,
7+9+11=27=33,13+15+17+19=64=43,…,猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)=n3.
(2)解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.
①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1,S2,S3,底面面积为S,则S+S+S=S2.
②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1.
③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a,b,c,则这个四面体的外接球的半径为R=.
反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容,通过观察给定的规律,得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法.
(2)类比推理重在考查观察和比较的能力,题目一般情况下较为新颖,也有一定的探索性.
跟踪训练1 (1)下列推理是归纳推理的是________,是类比推理的是________.
①A、B为定点,若动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则点P的轨迹是椭圆;
②由a1=1,an+1=3an-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的通项an和Sn的表达式;
③由圆x2+y2=1的面积S=πr2,猜想出椭圆的面积S=πab;
④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.
答案 ② ③④
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n项积为Tn, 则T4,______,______,成等比数列.
答案
解析 等差数列类比于等比数列时,和类比于积,减法类比于除法,可得类比结论为:设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4,,,成等比数列.
题型二 综合法与分析法
综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法,但两种证明方法思路截然相反,分析法既可用于寻找解题思路,也可以是完整的证明过程,分析法与综合法可相互转换,相互渗透,要充分利用这一辩证关系,在解题中综合法和分析法联合运用,转换解题思路,增加解题途径.一般以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表示证明过程.
例2 用综合法和分析法证明.
已知α∈(0,π),求证:2sin 2α≤.
证明 (分析法)
要证明2sin 2α≤成立.
只要证明4sin αcos α≤.
∵α∈(0,π),∴sin α>0.
只要证明4cos α≤.
上式可变形为
4≤+4(1-cos α).
∵1-cos α>0,
∴+4(1-cos α)≥2=4,
当且仅当cos α=,即α=时取等号.
∴4≤+4(1-cos α)成立.
∴不等式2sin 2α≤成立.
(综合法)
∵+4(1-cos α)≥4,
(1-cos α>0,当且仅当cos α=,即α=时取等号)
∴4cos α≤.
∵α∈(0,π),∴sin α>0.
∴4sin αcos α≤.
∴2sin 2α≤.
跟踪训练2 求证:-2cos(α+β)=.
证明 ∵sin(2α+β)-2cos(α+β)sin α
=sin(α+β)+α]-2cos(α+β)sin α
=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α-2cos(α+β)sin α
=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
=sin(α+β)-α]=sin β,
两边同除以sin α得
-2cos(α+β)=.
题型三 反证法
反证法是一种间接证明命题的方法,它从命题结论的反面出发引出矛盾,从而肯定命题的结论.
反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性,从逻辑角度看,命题:“若p则q”的否定是“若p则綈q”,由此进行推理,如果发生矛盾,那么就说明“若p则綈q”为假,从而可以导出“若p则q”为真,从而达到证明的目的.
例3 若x,y都是正实数,且x+y>2,求证:<2或<2中至少有一个成立.
证明 假设<2和<2都不成立,
则有≥2和≥2同时成立.
因为x>0且y>0,
所以1+x≥2y且1+y≥2x,
两式相加,得2+x+y≥2x+2y,
所以x+y≤2.
这与已知x+y>2矛盾.
故<2与<2至少有一个成立.
反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题;涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时,也常用反证法.
跟踪训练3 已知:ac≥2(b+d).
求证:方程x2+ax+b=0与方程x2+cx+d=0中至少有一个方程有实数根.
证明 假设两方程都没有实数根,
则Δ1=a2-4b<0与Δ2=c2-4d<0,有a2+c2<4(b+d),而a2+c2≥2ac,从而有4(b+d)>2ac,即ac<2(b+d),与已知矛盾,故原命题成立.
题型四 数学归纳法
数学归纳法是推理逻辑,它的第一步称为奠基步骤,是论证的基础保证,即通过验证落实传递的起点,这个基础必须真实可靠;它的第二步称为递推步骤,是命题具有后继传递性的保证,两步合在一起为完全归纳步骤,这两步缺一不可,第二步中证明“当n=k+1时结论正确”的过程中,必须用“归纳假设”,否则就是错误的.
例4 用数学归纳法证明当n∈N*时,1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+(n-2)·3+(n-1)·2+n·1=n(n+1)·(n+2).
证明 (1)当n=1时,1=·1·2·3,结论成立.
(2)假设n=k时结论成立,
即1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+(k-2)·3+(k-1)·2+k·1=k(k+1)(k+2).
当n=k+1时,则1·(k+1)+2·k+3·(k-1)+…+(k-1)·3+k·2+(k+1)·1
=1·k+2·(k-1)+…+(k-1)·2+k·1+1+2+3+…+k+(k+1)]
=k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)
=(k+1)(k+2)(k+3),
即当n=k+1时结论也成立.
综合上述,可知结论对一切n∈N*都成立.
跟踪训练4 数列{an}满足:a1=1,an+1=an+1.
(1)写出a2,a3,a4.
(2)求数列{an}的通项公式.
解 (1)因为a1=1,an+1=an+1,所以a2=a1+1=+1=.
a3=a2+1=·+1=.
a4=a3+1=·+1=.
(2)证明 方法一 猜想an=.下面用数学归纳法证明,
(1)当n=1时,a1==1,满足上式,显然成立;
(2)假设当n=k时ak=,那么当n=k+1时,
ak+1=ak+1=·+1=+1==满足上式,
即当n=k+1时猜想也成立,
由(1)(2)可知,对于n∈N*都有an=.
方法二 因为an+1=an+1,所以an+1-2=an+1-2,即an+1-2=(an-2),
设bn=an-2,则bn+1=bn,即{bn}是以b1=-1,为公比的等比数列,
所以bn=b1·qn-1=-,所以an=bn+2=.
呈重点、现规律]
1.归纳和类比都是合情推理,前者是由特殊到一般,部分到整体的推理,后者是由特殊到特殊的推理,但二者都能由已知推测未知,都能用于猜想,推理的结论不一定为真,有待进一步证明.
2.演绎推理与合情推理不同,是由一般到特殊的推理,是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式,另一方面,合情推理与演绎推理又是相辅相成的,前者是后者的前提,后者论证前者的可靠性.
3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法:综合法是从已知条件推导出结论的证明方法;分析法是由结论追溯到条件的证明方法,在解决数学问题时,常把它们结合起来使用,间接证法的一种方法是反证法,反证法是从结论反面成立出发,推出矛盾的证明方法.
4.数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时,它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)n=n0时结论成立.第二步(归纳递推)假设n=k时,结论成立,推得n=k+1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上,它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.