3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
课时目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．
1．空间向量基本定理
(1)设i、j、k是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O，那么，对于空间任一向量p，存在一个______________，使得____________，我们称______，______，______为向量p在i、j、k上的分向量．
(2)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c________，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得________________．
(3)如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是___________．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个________，a，b，c都叫做__________．空间中任何三个________的向量都可构成空间的一个基底．
2．空间向量的坐标表示
若e1、e2、e3是有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，我们称它们为____________________，以e1、e2、e3的公共起点O为原点，分别以e1、e2、e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么，对于空间任意一个向量p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作____________．
一、选择题
1．在以下3个命题中，真命题的个数是( )
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
2.已知O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a、b不能构成空间基底的是( )
A.B．C. D.或
3．以下四个命题中，正确的是( )
A.若＝＋，则P、A、B三点共线
B．设向量{a，b，c}是空间一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底
C．|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|
D. △ABC是直角三角形的充要条件·＝0
4.设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3G,G1若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为( )
A．(，，) B．(，，)
C．(，，) D．(，，)
5．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12,14,10) B．(10,12,14)
C．(14,12,10) D．(4,3,2)
6.已知空间四边形OABC中＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则等于( )
A.a－b＋c B．－a＋b＋c
C.a＋b－cD.a＋b－c
二、填空题
7．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是____________．
8.已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则＝____________.
9.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝______.
三、解答题
10.四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E、F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示、、、.
11.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD,求、的坐标．
能力提升
12．甲、乙、丙三名工人搬运石头，分别作用于石头的力为F1，F2，F3，若i、j、k是空间中的三个不共面的基向量，F1＝i＋2j＋3k，F2＝－2i＋3j－k，F3＝3i－4j＋5k，则这三名工人的合力F＝xi＋yj＋zk，求x、y、z.
13.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC.
1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．
2.＝x＝x＋y＋z，当且仅当x＋y＋z＝1时，P、A、B、C四点共面．
3．对于基底{a，b，c}除了应知道a，b，c不共面，还应明确：
(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．
(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.
3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
知识梳理
1．(1)有序实数组{x，y，z} p＝xi＋yj＋zk xi yj zk (2)不共面 p＝xa＋yb＋zc (3){p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R} 基底 基向量 不共面
2．单位正交基底 p＝(x，y，z)
作业设计
1．C [命题①，②是真命题，命题③是假命题．]
2．C [∵＝(a－b)，与a、b共面，
∴a，b，不能构成空间基底．]
3．B [A中若＝＋，则P、A、B三点共线，故A错；
B中，假设存在实数k1，k2，使c＋a＝k1(a＋b)＋k2(b＋c)＝k1a＋(k1＋k2)b＋k2c，
则有方程组无解，
即向量a＋b，b＋c，c＋a不共面，故B正确．
C中，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a|·|b|，故C错．
D中，由·＝0⇒△ABC是直角三角形，但△ABC是直角三角形，可能角B等于90°，则有·＝0.故D错．]
4．A [因为＝＝(＋)
＝＋×[(＋)]
＝＋[(－)＋(－)]
＝＋＋，
而＝x＋y＋z，
所以x＝，y＝，z＝.]
5．A [设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，
则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i
＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．]
6．B [＝－＝(＋)－
＝－a＋b＋c.]
7．(3,2，－1)，(－2,4,2)
8．3a＋3b－5c
解析 ∵＝＋＋，
又＝＋＋，
∴两式相加得
2＝(＋)＋＋＋(＋)．
∵E为AC中点，故＋＝0，同理＋＝0，
∴2＝＋＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)
＝6a＋6b－10c，∴＝3a＋3b－5c.
9.
解析 ＝＝(＋＋)．
故x＝y＝z＝，∴x＋y＋z＝.
10．解 ＝＝(＋)
＝(c－b－a)＝－a－b＋c.
＝＋＝－a＋
＝－a＋(＋)
＝－a－b＋c.
＝＋
＝＋＋(＋)
＝－a＋c＋(－c＋b)
＝－a＋b＋c.
＝＝＝a.
11．解
∵PA＝AD＝AB，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，
∴可设＝e1，＝e2，＝e3.
以e1、e2、e3为坐标向量建立空间直角坐标系Axyz，如图所示．
∵＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋(＋＋)
＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2)
＝－e1＋e3，
∴＝，＝＝e2＝(0,1,0)．
12．解 由题意，得F＝F1＋F2＋F3＝(i＋2j＋3k)＋(－2i＋3j－k)＋(3i－4j＋5k)＝2i＋j＋7k.
又因为F＝xi＋yj＋zk，所以x＝2，y＝1，z＝7.
13．证明 设＝a，＝c，＝b，
则＝＋
＝(＋)
＝(＋)
＝(＋－)＝(－a＋b＋c)，
＝＋＝＋＝a＋b.
∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)
＝(b2－a2－a·b＋a·b＋c·a＋c·b)
＝(|b|2－|a|2)＝0.
∴⊥，即EF⊥AB1.
同理，EF⊥B1C.
又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC.