课时目标 1.理解二分法求方程近似解的原理.2.能根据具体的函数，借助于学习工具，用二分法求出方程的近似解.3.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．
1．二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点______________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求________________________________________________________________________．
2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
(1)确定区间[a，b]，验证____________，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点____；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则________________；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈________)；
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈________)．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
一、选择题
1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
2．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
3．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2007)<0，f(2008)<0，f(2009)>0，则下列叙述正确的是( )
A．函数f(x)在(2007,2008)内不存在零点
B．函数f(x)在(2008,2009)内不存在零点
C．函数f(x)在(2008,2009)内存在零点，并且仅有一个
D．函数f(x)在(2007,2008)内可能存在零点
4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2) D．不能确定
5．利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间内( )
A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)
6．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>0
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)
①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4]
⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
－3.930
10.678
－50.667
－305.678
8.用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．
9．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．
三、解答题
10．确定函数f(x)＝＋x－4的零点所在的区间．
11．证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)
能力提升
12．下列是关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的命题：
①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；
②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；
③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．
那么以上叙述中，正确的个数为( )
A．0B．1C．3D．4
13．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？
1．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
2．二分法实质是一种逼近思想的应用．区间长度为1时，使用“二分法”n次后，精确度为.
3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．精确度为ε，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|a－b|<ε为止．
3．1.2 用二分法求方程的近似解
知识梳理
1．f(a)·f(b)<0 一分为二 逐步逼近零点 方程的近似解
2．(1)f(a)·f(b)<0 (2)c (3)①c就是函数的零点 ②(a，c)
③(c，b)
作业设计
1．B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]
2．A [由选项A中的图象可知，不存在一个区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，即A选项中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．]
3．D
4．B [∵f(1)·f(1.5)<0，x1＝＝1.25.
又∵f(1.25)<0，∴f(1.25)·f(1.5)<0，
则方程的根落在区间(1.25,1.5)内．]
5．C [设f(x)＝2x－x2，根据列表有f(0.2)＝1.149－0.04>0，
f(0.6)>0，f(1.0)>0，f(1.4)>0，f(1.8)>0，f(2.2)<0，f(2.6)<0，f(3.0)<0，f(3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．]
6．B [∵f(x)＝2x－，f(x)由两部分组成，2x在(1，＋∞)上单调递增，－在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．∵x1
7．③④⑤
8．[2,2.5)
解析 令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，
f(2.5)＝15.625－10＝5.625>0.
∵f(2)·f(2.5)<0，∴下一个有根的区间为[2,2.5)．
9．0.75或0.6875
解析 因为|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，
所以0.75或0.6875都可作为方程的近似解．
10．解 (答案不唯一)
设y1＝，y2＝4－x，则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象，如图．
由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，
当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，f(4)<0，
当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，f(8)＝1>0，
∴在(4,8)内两曲线又有一个交点．
故函数f(x)的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．
11．证明 设函数f(x)＝2x＋3x－6，
∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，
又∵f(x)是增函数，
∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，
则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．
设该解为x0，则x0∈[1,2]，
取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，
∴x0∈(1,1.5)，
取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，
f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)，
取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.444<0，
f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)，
取x4＝1.1875，f(1.1875)≈－0.16<0，
f(1.1875)·f(1.25)<0，
∴x0∈(1.1875,1.25)．
∵|1.25－1.1875|＝0.0625<0.1，
∴1.1875可作为这个方程的实数解．
12．A [∵①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不一定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．]
13．解 第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；
第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；
第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；
第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．
∴最多称四次．