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课时提升作业 十九
导数的几何意义
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2016·深圳高二检测)曲线y=f(x)=在点(2,-2)处的切线的斜率k
为 ( )
A. B. C.1 D.-
【解析】选C.k=
===1.
【补偿训练】(2016·重庆高二检测)曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
【解析】选B.y′=
=
==3x2-2.
则当x=1时,切线的斜率k=1.
设切线的倾斜角为θ,由tanθ=1,且0≤θ≤180°,得θ=45°.
2.(2016·阜阳高二检测)函数y=f(x)的图象在点P(5,f(5))处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)= ( )
A. B.1 C.2 D.0
【解题指南】根据函数f(x)的图象在点P(5,f(5))处的切线方程求出切线的斜率f′(5)和f(5)是解答关键.
【解析】选C.函数f(x)的图象在点P(5,f(5))处的切线y=
-x+8的斜率是k=-1,
所以f′(5)=-1,
又切线过点P(5,f(5)),
所以f(5)=-5+8=3,
所以f(5)+f′(5)=3-1=2.
3.(2016·临沂高二检测)曲线y=x3-3x2+1在点P处的切线平行于直线y=9x-1,则切线方程为 ( )
A.y=9x B.y=9x-26
C.y=9x+26 D.y=9x+6或y=9x-26
【解析】选D.设点P(x0,y0),
则=
=
=(Δx)2+3x0Δx-3Δx+3-6x0.
所以f′(x0)=
=3-6x0,于是3-6x0=9,解得x0=3或x0=-1,
因此,点P的坐标为(3,1)或(-1,-3).
又切线斜率为9,所以曲线在点P处的切线方程为y=9(x-3)+1或y=9(x+1)-3,即y=9x-26或y=9x+6.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.(2016·德州高二检测)已知曲线f(x)=x3在点(2,8)处的切线方程为12x-ay-16=0,则实数a的值为 .
【解析】因为f′(2)==
=12,
所以曲线f(x)=x3在点(2,8)处的切线的斜率为12,
所以=12,a=1.
答案:1
【补偿训练】(2016·福州高二检测)已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则= .
【解析】=(a·Δx+2a)=2a=2,所以a=1,
又3=a×12+b,所以b=2,即=2.
答案:2
5.(2016·北京东城高二检测)如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))= ;
= .(用数字作答)
【解析】因为函数f(x)的图象过点A(0,4)和(4,2),
所以f(f(0))=f(4)=2.
又函数f(x)过点A(0,4),B(2,0),
则当0≤x≤2时,
f(x)=4-2x.
所以==f′(1)=-2.
答案:2 -2
三、解答题
6.(10分)(2016·威海高二检测)已知曲线f(x)=x2+1与g(x)=x3+1在x=x0处的切线互相垂直,求x0的值.
【解析】因为f′(x)=
=(2x+Δx)=2x,
g′(x)=
=((Δx)2+3xΔx+3x2)=3x2,
所以k1=2x0,k2=3,
由k1k2=-1,
即6=-1,
解得x0=-.
【补偿训练】已知曲线y=x3上一点P,如图所示.
(1)求曲线在点P处的切线的斜率.
(2)求曲线在点P处的切线方程.
【解题指南】
【解析】(1)因为y=x3,
所以y′==
=
==x2,
所以y′=22=4,
所以曲线y=x3在点P处的切线的斜率为4.
(2)曲线y=x3在点P处的切线方程是y-=4(x-2),
即12x-3y-16=0.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·重庆高二检测)过曲线y=x3+1上一点(1,2)且与该点处的切线垂直的直线方程是 ( )
A.y=3x-3 B.y=x-
C.y=-x+ D.y=-3x+3
【解题指南】先求出曲线在该点处的切线的斜率,再求与此切线垂直的直线的斜率,进而得到直线方程.
【解析】选C.曲线上点(1,2)处切线的斜率为
==3,
所以与切线垂直的直线的斜率为-,
所以所求直线的方程是y-2=-(x-1),
即y=-x+.
【补偿训练】若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则 ( )
A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1
C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1
【解析】选A.y′=
=
=
=(Δx+a+2x)=2x+a.
又因为点(0,b)处的切线方程为x-y+1=0,
所以y′=a=1.
将(0,b)代入x-y+1=0得,b=1.
所以a=1,b=1.
2.(2016·泰安高二检测)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
【解题指南】根据倾斜角的取值范围可以得到曲线C在点P处切线斜率的取值范围,进而得到点P横坐标的取值范围.
【解析】选D.设点P的横坐标为x0,因为y=x2+2x+3,
由定义可求其导数y′=2x0+2,利用导数的几何意义得2x0+2=tanα(α为点P处切线的倾斜角),
又因为α∈,所以1≤2x0+2,
所以x0∈.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·烟台高二检测)若函数f(x)=x-,则它与x轴交点处的切线方程为 .
【解析】由f(x)=x-=0得x=±1,
即与x轴交点坐标为(1,0),(-1,0).
因为f′(x)=
==1+,
所以切线的斜率k=1+=2.
所以切线的方程为y=2(x-1)或y=2(x+1),
即2x-y-2=0或2x-y+2=0.
答案:2x-y-2=0或2x-y+2=0
4.若点P是抛物线y=x2上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为 .
【解析】由题意可得,当点P到直线y=x-2的距离最小时,点P为抛物线y=x2的一条切线的切点,且该切线平行于直线y=x-2,由导数的几何意义知y′=2x=1,解得x=,
所以P,故点P到直线y=x-2的最小距离d==.
答案:
三、解答题
5.(10分)已知曲线C:y=x3.
(1)求曲线C在点P(1,1)处的切线方程.
(2)试判断(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点.
【解析】(1)曲线在点P处的切线斜率为f′(1)=
=3,故所求切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
(2)由解得或
因此,点P处的切线与曲线C除了切点(1,1)之外,还有另一个公共点(-2,-8).
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