高中数学必修5 模块综合检测 Word版含解析

p
C.p=rq
答案:C
解析:∵f(x)=lnx,
∴p=f()=ln(lna+lnb)=r.
又∵0又∵y=lnx为递增函数,
∴ln>ln,即q>r,综上p=r12.(2015河南南阳高二期中,6)对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列an的“差数列”,若a1=1,{an}的“差数列”的通项公式为3n,则数列{an}的通项公式an=(　　)
A.3n-1 B.3n+1+2
C. D.
答案:C
解析:∵a1=1,an+1-an=3n,
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=3n-1+3n-2+…+31+1
=.故选C.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2015广东湛江高二期末,14)若x>4,函数y=x+,当x=　　　　　时,函数有最小值为　　　　　. 
答案:5　6
解析:∵x>4,∴x-4>0.
∴y=x+=x-4++4
≥2+4=6.
当且仅当x-4=即x=5时等号成立.
14.(2015山东潍坊四县联考,12)等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且,则=　　　　　. 
答案:
解析:.
15.设数列{an}满足:a1=1,a2=4,a3=9,an=an-1+an-2-an-3(n=4,5,…),则a2 015=　　　　　. 
答案:8 057
解析:由an=an-1+an-2-an-3,得an+1=an+an-1-an-2,
两式作和得:an+1=2an-1-an-3,
即an+1+an-3=2an-1(n=4,5,…).
∴数列{an}的奇数项和偶数项均构成等差数列.
∵a1=1,a3=9,
∴奇数项构成的等差数列的公差为8.
则a2015=a1+8(1008-1)=1+8×1007=8057.故答案为8057.
16.(2015福建宁德五校联考,16)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,有下列结论:
①若A>B,则sin A>sin B;
②若c2③若a,b,c成等差数列,则sin A+sin C=2sin(A+C);
④若a,b,c成等比数列,则cos B的最小值为.
其中结论正确的是　　　　　.(填上全部正确结论的序号) 
答案:①③④
解析:对于①,若A>B,则a>b,由正弦定理得sinA>sinB,命题①正确;
对于②,若c20,说明C为锐角,但A,B不一定为锐角,△ABC不一定是锐角三角形,命题②错误;
对于③,若a,b,c成等差数列,则a+c=2b,结合正弦定理得:sinA+sinC=2sinB,即sinA+sinC=2sin(A+C),命题③正确;
对于④,若a,b,c成等比数列,则b2=ac,
则cosB=,命题④正确.
三、解答题(17~20小题及22小题每小题12分,21小题10分,共70分)
17.(2015福建厦门高二期末,17)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=4,cos B=.
(1)若b=3,求sin A的值;
(2)若△ABC的面积为12,求b的值.
解:(1)∵cosB=,0∴sinB=.
由正弦定理可得:.
又a=4,b=3,∴sinA=.
(2)由面积公式,得S△ABC=acsinB,
∴ac×=12,可解得c=10.
由余弦定理,b2=a2+c2-2accosB=52,解得b=2.
18.(2015河北邯郸三校联考,18)数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c是常数,n=1,2,3,…),且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列.
(1)求c的值;
(2)求{an}的通项公式.
解:(1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c,
因为a1,a2,a3成等比数列,
所以(2+c)2=2(2+3c),解得c=0或c=2.
当c=0时,a1=a2=a3,不符合题意,舍去,故c=2.
(2)当n≥2时,由于a2-a1=c,a3-a2=2c,…,an-an-1=(n-1)c,
所以an-a1=[1+2+…+(n-1)]c=c.
又a1=2,c=2,故an=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…).
当n=1时,上式也成立.
所以an=n2-n+2(n=1,2,…).
19.(2015河南南阳高二期中,19)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A,B,C成等差数列,△ABC的面积为.
(1)求证:a,2,c成等比数列;
(2)求△ABC的周长L的最小值,并说明此时△ABC的形状.
(1)证明:∵A,B,C成等差数列,∴B=60°.
又△ABC的面积为,∴acsin60°=,即ac=4.
∵ac=22,∴a,2,c成等比数列.
(2)解:在△ABC中,根据余弦定理,得b2=a2+c2-2accos60°=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac=4,
∴b≥2,当且仅当a=c时,等号成立.
∴△ABC的周长L=a+b+c≥2+b=4+b,当且仅当a=c时,等号成立.
∴L≥4+2=6,当且仅当a=c时,等号成立.
∴△ABC周长的最小值为6.
∵a=c,B=60°,
∴此时△ABC为等边三角形.
20.(2015福建宁德五校联考,22)已知f(x)=x2-abx+2a2.
(1)当b=3时,
①若不等式f(x)≤0的解集为[1,2],求实数a的值;
②求不等式f(x)<0的解集.
(2)若f(2)>0在a∈[1,2]上恒成立,求实数b的取值范围.
解:(1)当b=3时,f(x)=x2-abx+2a2=x2-3ax+2a2,
①∵不等式f(x)≤0的解集为[1,2],
∴1,2是方程x2-3ax+2a2=0的两根.
∴解得a=1.
②∵x2-3ax+2a2<0,
∴(x-a)(x-2a)<0.
∴当a>0时,此不等式的解集为(a,2a),
当a=0时,此不等式的解集为空集,
当a<0时,此不等式的解集为(2a,a).
(2)由题意f(2)=4-2ab+2a2>0在a∈[1,2]上恒成立,
即b又a+≥2=2,
当且仅当a=,即a=时上式等号成立.
∴b<2,实数b的取值范围是(-∞,2).
21.(2015河南郑州高二期末,20)汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素,某市的一条道路在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车刹车距离刚好12 m,乙车刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:S甲=0.1x+0.01x2,S乙=0.05x+0.005x2.
问:甲、乙两车有无超速现象?
解:由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2=12,
即x2+10x-1200=0,
解得x=30或x=-40(x=-40不符合实际意义,舍去).
这表明甲车的车速为30km/h.
甲车车速不会超过限速40km/h.
对于乙车,有0.05x+0.005x2>10,
即x2+10x-2000>0,
解得x>40或x<-50(x<-50不符合实际意义,舍去).
这表明乙车的车速超过40km/h,超过规定限速.
22.(2015河南南阳高二期中,22)已知数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项an;
(2)求数列{n2an}的前n项和Tn;
(3)若存在n∈N*,使得an≥(n+1)λ成立,求实数λ的取值范围.
解:(1)因为a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N*),
所以a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=an(n≥2).
两式相减得nan=an+1-an,
所以=3(n≥2).
因此数列{nan}从第二项起,是以2为首项,以3为公比的等比数列,
所以nan=2·3n-2(n≥2).故an=
(2)由(1)可知当n≥2时,n2an=2n·3n-2,
当n≥2时,Tn=1+4·30+6·31+…+2n·3n-2,
∴3Tn=3+4·31+…+2(n-1)·3n-2+2n·3n-1.
两式相减得Tn=·3n-1(n≥2).
又∵T1=a1=1也满足上式,
∴Tn=·3n-1.
(3)an≥(n+1)λ等价于λ≤,
由(1)可知当n≥2时,,
设f(n)=(n≥2,n∈N*),
则f(n+1)-f(n)=-<0,
∴.
又,
∴所求实数λ的取值范围为λ≤.