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课时提升作业(二十六)
一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.随着海拔高度的升高,大气压强下降,空气中的含氧量也随之下降,且含氧量y(g/m2)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系.当x=36kPa时,y=108g/m3,则y与x的函数解析式为 ( )
A.y=3x(x≥0) B.y=3x
C.y=x(x≥0) D.y=x
【解析】选A.由题意设y=kx(k≠0),将(36,108)代入解析式可得k=3,故y=3x,考虑到含氧量不能为负数,所以x≥0.
【补偿训练】一个矩形的周长是40,则矩形的长y关于宽x的函数解析式为
( )
A.y=20-x(0
A.甲比乙先出发
B.乙比甲跑的路程多
C.甲、乙两人速度相同
D.甲先到达终点
【解析】选D.由图象可知甲、乙两人一起出发,甲的速度比乙的速度快,甲先到达终点.
3.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为 ( )
A.45.606万元 B.45.6万元
C.45.56万元 D.45.51万元
【解析】选B.依题意可设甲销售x辆,则乙销售(15-x)辆,所以总利润S=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30(x≥0,且x∈N),所以当x=10时,S有最大值为45.6(万元).
【补偿训练】某电子产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数解析式为y=-3x2+120x,要使利润获得最大值,则产量应为 件.
【解析】由二次函数关系式y=-3x2+120x=-3(x-20)2+1200可知当x=20时y取得最大值.
答案:20
4.(2015·绍兴高一检测)某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为:
y=
其中,x代表拟录用人数,y代表面试人数.若应聘的面试人数为60,则该公司拟录用人数为 ( )
A.15 B.40 C.25 D.130
【解析】选C.令y=60,若4x=60,则x=15>10,不合题意;若2x+10=60,则x=25,满足题意;若1.5x=60,则x=40<100,不合题意.故拟录用人数为25.
【补偿训练】国家对出书所得稿费纳税进行如下规定:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税;超过4000元的按全稿酬的11%纳税.某人出版了一书共纳税420元,则这个人的稿费为 ( )
A.3818元 B.5600元
C.3800元 D.3000元
【解析】选C.设稿费为x元时,纳税y元,则由题意得
y=
=
由0.14x-112=420,解得x=3800.
由0.11x=420,解得x=3818(舍去).
5.(2015·衡阳高一检测)“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概.当弓箭手以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时,t秒后的高度x米可由x=at-5t2确定.已知射出2秒后箭离地面高100米,则弓箭能达到的最大高度为 ( )
A.160米 B.170米 C.180米 D.190米
【解析】选C.由x=at-5t2且t=2时,x=100,解得a=60.所以x=60t-5t2.
由x=-5t2+60t=-5(t-6)2+180,
知当t=6时,x取得最大值为180,
即弓箭能达到的最大高度为180米.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.6万元,但每生产100台时,又需可变成本(即另增加投入)0.25万元,市场对该机器的需求量为1000台,销售收入(单位:万元)函数为:R(x)=5x-x2(0≤x≤10),其中x是产品的数量(单位:百台),则利润表示为产量的函数为 .
【解析】由题意得总成本为0.6+0.25x,从而利润为f(x)=5x-x2-(0.6+0.25x)=-x2+4.75x-0.6(0≤x≤10).
答案:f(x)=-x2+4.75x-0.6(0≤x≤10)
7.(2015·漳州高一检测)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒,已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系为y=(a为常数)其图象如图.根据图中提供的信息,则从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的解析式为 .
【解析】设0≤t≤时,y=kt,将(0.1,1)代入得k=10,当t>时,又将(0.1,1)代入y=中,得a=,所以y=
答案:y=
8.某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路.该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行抽样调查显示:每付出100元的广告费,所得的销售额是1000元.问该企业应该投入 元广告费,才能获得最大的广告效应.
【解析】设销售额为y元,广告费为x元,因为销售额与广告费的算术平方根成正比,得y=k,依题意,得1000=k,得k=100,
所以广告效应f(x)=100-x=-(-50)2+2500,
所以当x=2500时,f(x)max=2500.
答案:2500
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2015·衡阳高一检测)为了保护学生的视力,课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明:假设课桌的高度为ycm,椅子的高度为xcm,则y应是x的一次函数,下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度:
第一套
第二套
椅子高度x(cm)
40.0
37.0
桌子高度y(cm)
75.0
70.2
(1)请你确定y与x的函数解析式(不必写出x的取值范围).
(2)现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌,它们是否配套?为什么?
【解析】(1)根据题意,课桌高度y是椅子高度x的一次函数,故可设函数解析式为y=kx+b(k≠0).将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式,
得所以所以y与x的函数解析式是y=1.6x+11.
(2)把x=42代入(1)中所求的函数解析式中,有y=1.6×42+11=78.2.
所以给出的这套桌椅是配套的.
10.(2015·龙岩高一检测)某家庭拟进行理财投资,根据预测,投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比.其关系如图(1);投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比,其关系如图(2).(注:收益与投资额单位均为万元)
(1)分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系.
(2)该家庭现有20万元资金,拟全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?
【解析】(1)设投资债券类产品的函数关系为f(x)=k1x,投资股票类产品的函数关系为g(x)=k2,
所以f(1)==k1,g(1)==k2,
即f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).
(2)设投资债券类产品x万元.则投资股票类产品(20-x)万元.
依题意得:y=f(x)+g(20-x)=+(0≤x≤20),令t=(0≤t≤2),
则y=+=-(t-2)2+3,
所以当t=2,即x=16万元时,收益最大,ymax=3万元.
答:投资债券类产品16万元,则投资股票类产品4万元时,收益最大,为3万元.
【补偿训练】某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)满足关系y=-x+120.
(1)销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?
(2)若该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价x的范围.
【解题指南】(1)确定销售利润,利用配方法求最值.
(2)利用该商场获得利润不低于500元,建立不等式,即可确定销售单价x的范围.
【解析】(1)由题意,销售利润为
W=(-x+120)(x-60)
=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,
因为试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,
则-(x-90)2+900≤0.45×60(-x+120),
所以60
(2)因为该商场获得利润不低于500元,
所以(x-60)(-x+120)≥500,
所以70≤x≤110,
由(1)知60
答:(1)当x=87时,利润最大,最大利润是891元.
(2)该商场获得利润不低于500元,销售单价x的范围为[70,87].
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·鄂州高一检测)某车站有快慢两种列车,始发站距终点站7.2km,慢车到达终点站需16min,快车比慢车晚发车3min,且匀速行驶10min后到达终点站,则快车所行驶路程y关于慢车行驶时间x的函数解析式是 ( )
A.y=
B.y=
C.y=
D.y=
【解析】选C.x的取值范围为[0,16],当0≤x≤3时,快车还未发车,3
【补偿训练】已知A,B两地相距150千米,某人开汽车以60千米每小时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米每小时的速度返回A地,则汽车离开A地的距离x关于时间t(小时)的函数解析式是 ( )
A.x=60
B.x=60t+50t
C.x=
D.x=
【解析】选D.显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的,故应分三段表示函数,选D.
2.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足的函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),下图记录了三次实验的数据,根据函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为 ( )
A.3.50分钟 B.3.75分钟
C.4.00分钟 D.4.25分钟
【解析】选B.由图形可知,三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数p=at2+bt+c的图象上,所以解得a=-0.2,b=1.5,c=-2,所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2+,因为t>0,所以当t==3.75时,p取最大值,故此时的t=3.75分钟为最佳加工时间.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.某电脑公司2014年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为400万元,占全年经营总收入的40%.该公司预计2016年经营总收入要达到1690万元,且计划从2014年到2016年每年经营总收入的年增长率相同,则2015年预计经营总收入为 万元.
【解析】设从2014年到2016年每年经营总收入的年增长率为x.
由题意,得2014年经营总收入为=1000(万元),
则有1000(1+x)2=1690.解得x=0.3,
故2015年预计经营总收入为1000(1+0.3)=1300(万元).
答案:1300
4.(2015·安阳高一检测)将进货单价为8元/个的商品按10元/个销售时,每天可卖出100个,若此商品的销售单价每上涨1元,日销量就减少10个,为了获取最大利润,此商品的销售单价应定为 .
【解析】设销售单价应再涨x元/个,则实际销售单价为(10+x)元,此时日销售量为(100-10x)个,每个商品的利润为(10+x)-8=(2+x)(元),
所以总利润y=(2+x)(100-10x)=-10x2+80x+200=-10(x-4)2+360(0≤x<10,且x∈N),
所以当x=4时,y有最大值,此时单价为14元/个.
答案:14元/个
【误区警示】此题易对每件商品的利润理解出现失误,应为提高后的单价减去进货单价,每件商品的利润与日销量的乘积,即为每日获得的利润.
【补偿训练】某机床总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系为y=x2-75x,若每台机器售价为25
万元,则该厂获利润最大时应生产机器台数为 .
【解析】设生产x台,则利润f(x)=-x2+100x
=-(x-50)2+2500,
则当x=50时利润最大.
答案:50
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.某汽车公司拥有汽车100辆,当每辆汽车的月租金为3000元时,可全部租出;当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的汽车将会增加1辆,租出的汽车每辆每月需要维护费150元,未租出的汽车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆汽车的月租金定为3600元时,能租出多少辆汽车?
(2)当每辆汽车的月租金定为多少时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
【解析】(1)当每辆汽车租金为3600元时,未租出的汽车数为=12,所以此时租出了88辆汽车.
(2)设每辆汽车的月租金定为x元,则公司月收益为
f(x)=(x-150)-×50,整理得f(x)=-(x-4050)2+307050(x>3000),
所以当x=4050时,月收益最大,最大为307050元.
答:当每辆汽车的月租金定为4050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是307050元.
6.(2015·韶关高一检测)某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产,已知投资生产这两种产品的有关数据如下:
年固定
成本
每件产
品成本
每件产品
销售价
每年最多
生产的件数
甲产品
30
a
10
200
乙产品
50
8
18
120
其中年固定成本与生产的件数无关,a为常数,且4≤a≤8.另外年销售x件乙产品时需上交0.05x2的特别关税.
(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1,y2与生产相应产品的件数x之间的函数解析式.
(2)分别求出投资生产这两种产品的最大利润.
(3)如何决定投资可获得最大年利润.
【解析】(1)根据题意,y1=(10-a)x-30,0≤x≤200,x∈N,
y2=10x-50-0.05x2,0≤x≤120,x∈N.
(2)因为4≤a≤8,所以10-a>0,故y1=(10-a)x-30,0≤x≤200,x∈N为定义域上的增函数,所以x=200时,y1取得最大值1970-200a.y2=10x-50-0.05x2,0≤x≤120,x∈N则x=100时,y2取得最大值450.
(3)令1970-200a=450,解得a=7.6,所以4≤a<7.6时,投资甲产品;当7.6