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综合质量评估
第一至第三章
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.“x>3”是“不等式x2-2x>0”的 ( )
A.充分不必要条件
B.充分必要条件
C.必要不充分条件
D.非充分必要条件
【解析】选A.解不等式x2-2x>0得x<0或x>2,故“x>3”是“不等式x2-2x>0”的充分不必要条件.
2.(2016·临沂高二检测)命题:“∀x∈R,都有x2-x+1>0”的否定是 ( )
A.∀x∈R,都有x2-x+1≤0
B.∃x0∈R,使-x0+1>0
C.∃x0∈R,使-x0+1≤0
D.∃x0∈R,使x2-x0+1<0
【解析】选C.全称命题的否定是特称命题.
3.函数y=f(x)的图象如图1所示,则y=f′(x)的图象可能是 ( )
【解析】选D.由函数y=f(x)的图象可知当x<0时,函数单调递增,故f′(x)>0,当x>0时,函数单调递减,故f′(x)<0.
4.(2016·河南南阳高二期末)若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-1时取得极值,则a等于 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.f′(x)=3x2+2ax+3.由题意知f′(-1)=0,解得a=3.
5.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a的值为 ( )
A.1 B. C.- D.-1
【解析】选A.y′=2ax,于是曲线y=ax2在点(1,a)处切线的斜率为2a,由题意得2a=2,解得a=1.
6.已知点P是双曲线-=1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|等于 ( )
A.7 B.6 C.5 D.3
【解题指南】先根据渐近线方程求出a,再根据双曲线的定义求|PF2|.
【解析】选A.由双曲线方程得渐近线方程为3x±ay=0,
则a=2,双曲线中c=,b=3,
由|PF1|=3知P为双曲线左支上一点,
则|PF2|=|PF1|+4=7.
7.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率
为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由题意知=,得a2=4b2,
又a>b>0,所以a=2b.
所以双曲线的离心率e===.
【补偿训练】设双曲线-=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为 ( )
A. B.5 C. D.
【解析】选D.设双曲线的渐近线方程为y=kx,这条直线与抛物线y=x2+1相切,联立方程得整理得x2-kx+1=0,则Δ=k2-4=0,解得k=±2,即=2,故双曲线的离心率e====.
8.(2016·青岛高二检测)设函数f(x)=x2-9lnx在区间上单调递减,则实数a的取值范围是 ( )
A.(1,2] B. D.(0,3]
【解析】选A.f′(x)=x-=(x>0),
令f′(x)≤0得0
所以解得1
A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1
【解析】选B.因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,所以F(-6,0)是双曲线的左焦点,即a2+b2=36,又双曲线的一条渐近线方程是y=x,所以=,解得a2=9,b2=27,所以双曲线的方程为-=1.
10.(2016·大连高二检测)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】选D.因为△OFM的外接圆与抛物线C:y2=2px(p>0)的准线相切,所以
△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.
因为圆的面积为36π,所以圆的半径为6,
又因为圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=,
所以+=6,p=8.
11.(2015·济南二模)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x1处取得极大值,在x2处取得极小值,满足x1∈(-1,0),x2∈(0,1),则的取值范围是 ( )
A.(0,2) B.(1,3)
C. D.
【解析】选B.因为f(x)=x3+ax2+bx+c,
所以f′(x)=x2+ax+b.
因为函数f(x)在区间(-1,0)内取得极大值,在区间(0,1)内取得极小值,
所以f′(x)=x2+ax+b=0在(-1,0)和(0,1)内各有一个根,
f′(0)<0,f′(-1)>0,f′(1)>0,
即
在aOb坐标系中画出其表示的区域,如图,
=1+2×,
令m=,其几何意义为区域中任意一点与点(-2,-1)连线的斜率,
分析可得0<<1,
则1<<3,
所以的取值范围是(1,3).
12.(2016·厦门模拟)若点O和点F(-2,0)分别是双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为 ( )
A.∪∪(3,+∞).
18.(12分)(2016·衡水高二检测)已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.
(1)若f(x)的图象有与x轴平行的切线,求b的取值范围.
(2)若f(x)在x=1处取得极值,且x∈时,f(x)
即方程3x2-x+b=0有实数解.
所以Δ=1-12b≥0,
解得b≤.
(2)由题意,得x=1是方程3x2-x+b=0的一个根,
设另一个根为x0,则
解得
所以f(x)=x3-x2-2x+c,
f′(x)=3x2-x-2.
当x∈时,f′(x)<0;
当x∈(1,2]∪时,f′(x)>0.
所以当x=-时,f(x)有极大值+c,
又f(-1)=+c,f(2)=2+c,
所以当x∈时,f(x)的最大值为f(2)=2+c.
因为当x∈时,f(x)
所以c的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).
19.(12分)已知椭圆的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e=.
(1)求此椭圆的方程.
(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.
【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),
则c=,=,
所以a=2,b2=a2-c2=1.
所以所求椭圆方程为+y2=1.
(2)由消去y,
得5x2+8mx+4(m2-1)=0,
则Δ=64m2-80(m2-1)>0,得m2<5(*).
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=,
y1-y2=x1-x2,
|PQ|=
==2.
解得m2=,满足(*),
所以m=±.
20.(12分)已知函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b(a>0).
(1)当f(x)的极小值为-,极大值为-1时,求函数f(x)的解析式.
(2)若f(x)在区间上为增函数,在区间上是减函数,在上是增函数,
在上是减函数,在上是增函数,在上为增函数,在区间=-4,
所以·=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)
=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2
=1++1-4==1.
解得k=±2.
(2)因为y1>0,
所以tan∠ATF===≤1.
当且仅当y1=
即y1=2时取等号.
故∠ATF的最大值为.
22.(12分)已知函数f(x)=-x3+x2-2x(a∈R).
(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间.
(2)若对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当a=3时,
函数f(x)=-x3+x2-2x,
得f′(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2).
所以当1
当x<1或x>2时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2),
单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞).
(2)由f(x)=-x3+x2-2x,
得f′(x)=-x2+ax-2,
因为对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,所以问题转化为对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)max<2(a-1).
因为f′(x)=-+-2,其图象开口向下,对称轴为x=.
①当≤1即a≤2时,f′(x)在[1,+∞)上单调递减,
所以f′(x)max=f′(1)=a-3,
由a-3<2(a-1),得a>-1,此时-1
f′(x)在上单调减增,
在上单调递减,
所以f′(x)max=f′=-2,
由-2<2(a-1),
得0
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